大学物理の課題なんですが…

質問

同次の微分方程式(A)でx1(t),x2(t)が特解を持つときc1,c2を任意定数としてc1x1(t)+c2x2(t)≡x0 (t；c1,c2)も(A)の一般解であることを示せ。
全く分からないので解答をお願いいたします。

回答No.1

NemurinekoNya · ベストアンサー

これは二次の微分方程式と考えていいのかな？

ならば、その一般形は
　x'' + ax' + bx = 0
ここで、
　x'' = d^2/dt^2
　x' = dx/dt

基本解はx1(t),x2(t)なので、
　(x1(t))'' + a(x1(t))' + bx1(t) = 0
　(x2(t))'' + a(x2(t))' + bx2(t) = 0
が成立する。

x0 = c1x1(t) + c2x(t)とすると、
　x0'' + ax0' + bx0
= (c1x1(t) + c2x(t))'' + a(c1x1(t) + c2x(t))' + b(c1x1(t) + c2x(t))
= c1((x1(t))'' + a(x1(t))' + bx1(t)) + c2((x2(t))'' + a(x2(t))' + bx2(t))
= 0

よって、x0 = c1x1(t) + c2x(t)は、
　x'' + ax' + bx = 0
の解である。

みたいな感じ。

お礼

ご丁寧にありがとうございます！
本当に助かります。合わせて他にも分からない問題を投稿したのでもしご都合よろしければいつでも解答していただければ幸いです。

回答No.2

NemurinekoNya

#1です。
a = a(t)
b = b(t)
とした方がいいのかもしれないですね。

でも、証明は同じなので、
そこのところを直しておいてください。

お礼

さっそくのご解答ありがとうございます！
合わせてご都合よろしい時に他の質問にも答えていただけたら幸いです。