n 回微分したときの式

質問

Y=(1/(x-1))+(1/(x-1))をn回微分した式が
Y_(n)=n!(1/(1-x)^(n+1) + (-1)^n/(1+x)^(n+1))となっているのですが、
一回目の微分で、分母が(1±x)^2になったら次のそれが分子にくるので、分母に、なんらかの形でxがのこってしまいこうならない気がするのですが、、

回答No.3

alice_44 · ベストアンサー

y = 1/(x-1) + 1/(x+1) の誤字でしょうね。

y = (x-1)^-1 + (x+1)^-1 なのだから、
分子分母云々というよりも、
x^a の微分公式だけでいけますよ。
(d/dx) x^a = a x^(a-1),　a = -1, -2, -3, -4, …

(x-1)^-1 → (-1)(x-1)^-2 → (-1)(-2)(x-1)^-3 → (-1)(-2)(-3)(x-1)^-4 → …
(x+1)^-1 → (-1)(x+1)^-2 → (-1)(-2)(x+1)^-3 → (-1)(-2)(-3)(x+1)^-4 → …
より、
(d/dx)^n y = (-1)(-2)(-3)…(-n){ (x-1)^-(n+1) + (x+1)^-(n+1) }
です。
{ } 内を通分したら、分子に x が入ってくるかも知れないけど。

係数部分のマイナスを括り出して (-1)(-2)(-3)…(-n) = (n!)(-1)^n
の (-1)^n を { } 内ヘ移動すれば、
(d/dx)^n y = (n!){ (-1)^n・(x-1)^-(n+1) + (-1)^n・(x+1)^-(n+1) }
= (n!){ (-1)/(1-x)^(n+1) + (-1)^n/(x+1)^(n+1) }
となります。

一ヶ所違っているようですね。

回答No.2

yyssaa

Y=(1/(x-1))+(1/(x-1))
は正しいですか？

回答No.1

happy_yuppie

分母と分子で(1+x)がうまく打ち消されます．
分数の微分の公式に従って解いてみればわかります．

試しに　1/(x-1)　を微分してみます．
1/g' = -g'/g^2 に従って順次求めてみます．
最初 1/(x-1)
1階　-(x-1)'/(x-1)^2 = -1/(x-1)^2
2階　(x-1)^2' / (x-1)^4 = (-1)^2*1*2(x-1) / (x-1)^4 = (-1)^2*1*2 /(x-1)^3
3階　 (-1)^3*1*2 (x-1)^3' / (x-1)^6 = (-1)^3*1*2*3* (x-1)^2 / (x-1)^6 = (-1)^3*1*2*3 / (x-1)^4
・・・
n階　(-1)^n * n! / (x-1)^(n+1)