今度は考え方（やり方）がわかりません

質問

ロピタルの定理を繰り返し適用する方法で求めよ。
lim[x→+∞]x^n/a^x（a＞1,nは自然数）

以前この問題に対する回答をこちらで頂きました。
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ロピタルの定理をｎ回使って分子分母をそれぞれn回微分すると
分子のx^nは
n!　（nの階乗：n(n-1)(n-2)…3・2・1）
になります。
分母のa^x=e^{xlog(a)}は
(a^x){log(a)}^n
になります。
したがって
[n!/{log(a)}^n]a^x→0 …（定数）/∞形
となります。

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何故こうなるのか、わからないので、考え方を教えてください。
>分母のa^x=e^{xlog(a)}は
>(a^x){log(a)}^n
>になります。
何故ここから
>分母のa^x=e^{xlog(a)}は
下記に
>(a^x){log(a)}^n
なるのでしょうか？

よろしくお願いします。

回答No.1

info22 · ベストアンサー

＞a^x=e^{xlog(a)}
e^f(x)の微分は
f'(x)e^f(x)
になります。（公式集にも載っていることです。）
今の場合
f(x)=xlog(a)
でlog(a)は定数です。
a^x=e^{xlog(a)}
一回目微分
{log(a)}e^{xlog(a)}={log(a)}a^x
２回目微分
[{log(a)}^2]e^{xlog(a)}=[{log(a)}^2]a^x
3回目微分
[{log(a)}^3]e^{xlog(a)}=[{log(a)}^3]a^x
…
これを繰り返して
n回目の微分では
[{log(a)}^n]e^{xlog(a)}=[{log(a)}^n]a^x…（A)
となることが分かりませんか？

>下記に
>>(a^x){log(a)}^n…（B)
>なるのでしょうか？
(A)と（B)の式は書く順が入れ替わっているだけで同じ式ですよ。
よく式を眺めてじっくり考えて見てください。

＃つまらない質問をしたことに気がつかれるでしょう。

お礼

ありがとうございます。
やっと流れがわかりました。
もう一つつまらないというか、基本的なことだと思うのですが、教えてください。
何故eが出てくるのかがわかりません。
たとえばこれ
>a^x=e^{xlog(a)}
右辺のeですが、これはaにはならないのでしょうか？
a^x=a^{xlog(a)}

補足

今わかりました。
２度もありがとうございました。