微分を絡めた数学的帰納法の問題

質問

y=x^nのn次関数を求めよ。

という問題で、数学的帰納法を使い、n=1のときは理解できましたが、k+1のときの証明が理解できません。この問題の途中に出てきた式で
y^(k+1)微分=d^k*(dx^(k+1)/dx)/dx^k

という式を理解できません。yをk+1回微分したものなのになんでこうなるのでしょうか。これではk+2回微分した式になっている気がしてしまいます。

どなたか教えてください。よろしくお願いいたします。

回答No.1

saimonia · ベストアンサー

まずyの(k+1)次導関数はx^(k+1)を(k+1)回微分するということというのはよろしいでしょうか。
ここで

x^(k+1)を(k+1)回微分する→x^(k+1)を1回微分した結果をk回微分する

としても同じですよね。
x^(k+1)を1回微分する部分を式にするとdx^(k+1)/dxですよね
x^(k+1)を1回微分した結果がdx^(k+1)/dxなのでこれをk回微分したらいいわけですから、これを式にすると
d^k*(dx^(k+1)/dx)/dx^k
になりますよね。
分かりにくければ、f(x)=dx^(k+1)/dxとおいたら

d^k*f(x)/dx^k

となります。これはf(x)をk回微分するという式ですよね。

以上からd^k*(dx^(k+1)/dx)/dx^kはyの(k+1)次導関数になります。

回答No.4

chomsky123

mis_take様
zk43様
saimonia様

この問題は
（ｘ）＾（ｋ＋１）の微分が（ｋ＋１）＊（ｘ）＾ｋになる事は使用可なのでしょうか。
質問者ではない私が質問して良いのかどうか（規約違反）は知らないのですが。

もしかしてdandy_lion様も悩んでいるかも・・・と・・・かってな事を書きつつ。

もし使用可なら
単に、高次微分記号/微分作用素の理解の問題に帰着し
本来の題意は普通の言葉で説明可なので・・・
となると　説明が難解で　・・・本来の題意とは離れてしまっている・・・

正直　結構長時間　思考しているのですが
（ｋ＋１）＊（ｘ）＾ｋになる事を使わない証明を思いつきません。

とてつもなく、トンチンカンな事を訊いているようなきもして、恥ずかしいのですが。

お礼

レベルが高すぎて理解できません。

回答No.3

mis_take

証明したいことが何かきちんと把握していますか？
(ｘ^n)^(n)＝ｎ！ ですね。

ですから，数学的帰納法の第２ステップでは
(ｘ^k)^(k)＝ｋ！ を仮定して，(ｘ^{k+1})^(k+1)＝(ｋ＋１)！ を示します。
（ｙ＝ｘ^n を ｋ＋１回微分するのではありません。）
（ｋ＋１回微分とｋ＋１乗を区別するために ^(k+1) と ^{k+1} を使い分けています。）

ヒント
(ｘ^4)''''＝(４ｘ^3)'''＝４(ｘ^3)'''＝４・３！＝４！

お礼

ありがとうございます。

回答No.2

zk43

dx^(k+1)/dxはx^(k+1)にd/dxを１回だけ作用させている。
d^k*(dx^(k+1)/dx)/dx^kは、dx^(k+1)/dxにd^k/dx^kを作用させてい
る。つまり、d/dxをk回作用させている。
よって、d^k*(dx^(k+1)/dx)/dx^kはx^(k+1)にd/dxを合計k+1回作用
させている。d/dxを作用させるということは、１回微分を行うというこ
と。
d/dxの記号に慣れてなかったら、’を使ったり、簡単にDで微分を意味
するとして、記号を簡略化して考えても良いのでは。

お礼

no1,no2さんどうもありがとうございました。理解できました。感謝しています。