n回微分可能で（n＋1）回微分できない関数の例

質問

初歩的な質問ですみません。

ｙ＝x^2　（ｘ≧０）　、－x＾2　（x＜0）とすれば　1回微分可能で2回微分は不可。

同様に

ｙ＝x^（n+1)　（ｘ≧０）　、－x＾(n+1)　（x＜0）

とすれば、n回微分可能で（n＋1）回微分できないC^n級の関数でした。

が、C^n級の関数はこれらの類似だけでしょうか？　もっと難しい、というか他の例がありましたら教えてください。

回答No.1

kabaokaba · ベストアンサー

本質的に

連続かつ微分できない関数

をつくれば終わりです．
あとはその関数を好きなだけ
適当な初期値で積分すればいい．

連続で微分できない関数というのは
そこでとがってればいい．
質問中で例示されている関数もそういう形です．

連続で「至るところで」微分できない関数は
Weierstrass関数とか
高木関数というのが知られてますし，
コッホ曲線とか
ドラゴン曲線の類もその手のものでしょう．

一般にはおそらく
微分できる関数よりはるかに多い
（集合論的にいえばより大きい濃度）関数が
微分できない関数でしょう．

補足

回答ありがとうございます。

>本質的に
>連続かつ微分できない関数
>をつくれば終わりです．
>あとはその関数を好きなだけ
>適当な初期値で積分すればいい．

なるほど、と思いました。積分すれば確かに。

が、その場合もう一つお願いします。

C^n級の任意の元をとってきて、適当な初期値で積分すれば、C^（n+1）級に入る、ということはC^n⊂C^（n+1)　となり、おかしくありませんか？

回答No.2

kabaokaba

＞C^n級の任意の元をとってきて、適当な初期値で積分すれば、C^（n+1）級に入る、ということは
＞C^n⊂C^（n+1)　となり、おかしくありませんか？

？
関数fがC^nであれば，その原始関数はC^{n+1}です
決してfがC^{n+1}だなんていってませんので
包含関係については何も言及してません．

お礼

失礼しました。
C^n級の関数クラスの包含関係は、
　　　C^n⊃C^(n+1)
かと思います。

C^n級の関数を1回積分する写像を考えたら、C^(n+1)の上への写像になっている、ということは、
　　　｜C^n｜≦｜C^(n+1)｜
のような気がして、なんか違和感があったので・・・。