偏微分について。

質問

【次の関数f(x,y)についてfxy(0,0)とfyx(0,0)を求め、これが等しくなくことを示せ。

f(x,y) = xy(x^2-2y^2)/(x^2+y^2)…(x,y≠0,0)
f(x,y) = 0…(x,y = 0,0)

】
という問題があるのですが、なぜ解き方として
【偏微分係数を求める定義の式（limを使う式）から求めなければいけない】
とあるのですが、なぜ公式（fx = nx^(n-1)のような）を使ってはいけないのでしょうか？

回答No.4

info22 · ベストアンサー

#3です。

参考URLを貼り付けるのを忘れました。

参考URL：

http://www.osaka-kyoiku.ac.jp/~tomodak/grapes/volume.html#download

お礼

回答ありがとうございます。
とても分かりやすかったです。

回答No.3

info22

fxy(0,0)とfyx(0,0)は

(x,y)≠(0,0)の時は
fxy(x,y)=fyx(x,y)
=-(2*y^6+15*x^2*y^4-12*x^4*y^2-x^6)/(y^2+x^2)^3 …(■)
=g(x,y)とおく。

g(x,y)はx=y=0では0/0型になります。
この式でx→0(y≠0)としてみるとg(0,y)=fxy(0,y)=fyx(0,y)=-2
g(x,y)=fxy(x,y)=fyx(x,y)→-2

また
この式でy→0(x≠0)としてみるとg(x,0)=fxy(x,0)=fyx(x,0)=1
g(x,y)=fxy(x,y)=fyx(x,y)→1

このように、fxy(x,y)=fyx(x,y)は(x,y)=(0,0)では定義されない（0/0型）けれども、
y≠0のもとでx→0とした場合のfxy(x,y)=fyx(x,y)の値-2が存在し
その後、y→0としても、fxy(x,y)=fyx(x,y)の値は同じ-2となる。

y≠0のもとでx→0とした場合のfxy(x,y)=fyx(x,y)の値1が存在し
その後、x→0としても、fxy(x,y)=fyx(x,y)の値は同じ1となる。

この事は(x,y)→(0,0)への近づけ方により　fxy(x,y)=fyx(x,y)の値が異なるわけです。
fxy(x,y)やfyx(x,y)が(x,y)=(0,0)で未定義の場合や方向微係数が異なる場合（(x,y)の(0,0)への接近のさせ方で値が異なる場合）は極限(lim)
を使って取り扱わないといけませんね。

(■)のg(x,y)の(x,y)=(0,0)付近のz=g(x,y)の曲面をプロットしてしてみてください。（参考URLのフリーソフト3D-GRAPES 1.41Aで曲面がプロットできます。）なぜfxy(0,0)がなぜlimをとらないといけないかよく分かるでしょう。
(x,y)=(0,0)におけるg(x,y)の収束値は(0,0)への近づけ方により
1,-2,(-1±3√2)/2などの値をとったりします。

回答No.2

jamf0421

fxとfyについて目をつぶって機械的に公式を当てはめて出した式と、x=0, y=0における偏微分の定義どおりの手順で計算（{f(δx,y)-f(0,y)}/δxでδx→0, {f(x,δy)-f(x,0)}/δyでδy→0などなど）した場合の結果を比較されたら、わかりませんか？

回答No.1

kabaokaba

なぜ「公式がつかえる」と思うのでしょうか？
公式はいつでもどこでも使えるわけではありません．
前提条件を理解しましょう．