数学の質問です！

質問

（問題）x=1,2でないとき、
2x+1=a(x-2)^2+b(x-1)(x-2)+(x-1)
が成立することと、
x=1,2も含めて、
恒等的に上式が成り立つことは同値であることを
示す。
ヒントは、多項式の因数定理だと高校でいわれたの
ですが、よくわからないので教えて下さい(*^。^*)
お願いします。

回答No.3

alice_44

要するに、多項式は連続関数だ ということです。
孤立点を除いて 左辺=右辺であれば、
変数→除外した点 の極限をとれば
除外した点でも 左辺=右辺 であることが解ります。

お礼

有難うございます。

回答No.2

ninoue

すみません、少し間違えていました。
右辺は次の通り変形出来ます。

f(x)=(a+b)x^2 +(-4a-3b+1)x +(4a+2b-1)

これが左辺の2x+1と等しい筈なので、次のようになる筈です。

a+b=0; (x^2の項)
==>b=-a;

(-4a-3b+1)=(-4a+3a+1)=-a+1=2 (xの項)
==>
a=-1; b=1;

(4a+2b-1)=(-4+2-1)=-3 (常数項)
これは左辺の1にはなりません。

従って問題がおかしいようです。

お礼

有難うございます。

補足

問題間違えました。
申し訳ありません。
正しくは

（問題）x=1,2でないとき、
2x+1=a(x-2)^2+b(x-1)(x-2)+(x-1)c
が成立することと、
x=1,2も含めて、
恒等的に上式が成り立つことは同値であることを
示す。
ヒントは、多項式の因数定理だと高校でいわれたの
ですが、よくわからないので教えて下さい(*^。^*)
お願いします。

cが抜けていました。

回答No.1

ninoue

何か問題がおかしいようです。
このような問題に時間を潰すのは勿体無いので無視して他の問題を考えるのが良いのではと思われます。
x=1,2を左辺、右辺に代入すると
2x+1=x-1,
3=0 when x=1; ????
5=1 when x=2; ????

お礼

有難うございます。