数学・・・

質問

多項式(x^100+1)^100+(x^2+1)^100+1はx^2+x+1で割り切れるか
という問題をといてたらつまずきました

余剰の定理を使う方向で考えていたのですがうまくいかないというかつかえませんでした。
ご教示よろしくお願いします

回答No.1

noname#47894 · ベストアンサー

> 余剰の定理を使う方向
それをいうなら剰余の定理ですが、細かいことはさておき

(x^100+1)^100+(x^2+1)^100+1＝(x^2+x+1)q(x)＋ax+b
とおいてしまいます。
x^2+x+1が二次式なので、二次式で割ったあまりは高々一次式でいいと思います。

x=wを代入すると、（wはx^3＝１の解の一つで、1ではないもの、w^2+w+1=0、w^3=1が成立）
(w^100+1)^100+(w^2+1)^100+1＝(w^2+w+1)q(w)＋aw+b
よって、(w+1)^100+(-w)^100+1＝aw+b　を経て、（-w)^200+w+1=aw+b
w^2+w+1=aw+b　で　結局、aw+b=0

x=w^2を代入すると
(w^200+1)^100+(w^4+1)^100+1＝(w^4+w^2+1)q(w^2)＋aw^2+b
よって、(w^2+1)^100+(w+1)^100+1＝aw^2+b　を経て、（-w)^100+｛(-w)^2｝^100+1=aw^2+b
w+w^2+1=aw^2+b　で　結局、a(-w-1)+b=0
よって、a=0、b=0

なので、割り切れる（余り０）？。
計算は自分で確認してください。

回答No.5

kumipapa

こんにちは
剰余の定理でうまくできなかったとのことですが・・・。
f(x) = (x^100+1)^100+(x^2+1)^100+1 が x^2+x+1 で割り切れることを示したいとき、x^2+x+1=0 の解をα, β としてα≠β、 f(α)=0 かつ f(β)=0 を示せれば、因数定理よりf(x)は(x-α)と(x-β)の両方を因数にもつから x^2+x+1 = (x-α)(x-β) で割り切れると言えます。しかし、α、βを具体的に求めて f(α), f(β) の両方を計算するのは悶絶しそうですので、α^2+α+1=0 を満足する（任意の）αが f(α)=0 を成り立たせる事を示せば良いでしょう。
このときα^3 = 1 に気付くかどうかは計算を楽にする上で大切だとは思うのですが、この問題はそれで良いとしても、これが「x^2+2x+2 で割り切れるか」となったらお手上げになりかねないですね。α^3=1 に気付かなくても、α^2+α+1=0 を利用して与式の次数を下げていくことを考えれば普通にできるはずですし、その過程で α^3=1 は導出されるでしょう。

α を α^2+α+1=0 (α^2 = -α-1) を満たす数として、試しに α^100 を計算してみると・・・
α^100 = (-α-1)α^98 = - α^99 - α^98 = - (-α-1)α^97 - α^98 = α^97
となり、結局 α^3 = 1 にたどりつきますが、それはともかくとして、これで α^100 = α となることは計算できます。このようにして、
f(α) = (α^100+1)^100+(α^2+1)^100+1
　　＝(α+1)^100 + (-α)^100+1
　　= α^200 + α^100 + 1
　　= α^2 + α + 1
　　＝ 0
よって、x^2+x+1=0の異なる２つの解が両方ともf(x) =0を満たすので、f(x)はx^2+x+1で割り切れます。

ちなみに、最初に言った「x^2+2x+2で割り切れるか」の場合ですが、例えば、x^100+2^50 なんかが x^2+2x+2 で割り切れます。α^2+2α+2=0　 ( α^2 = -2(α+1) ) とすると、
α^100 = -2(α+1)α^98 = -2α^99 - 2α^98 = 4(α+1)α^97 - 2α^98 = 2α^98+4α^97
= -4(α+1)α^96+4α^97 = -4α^96
より、α^4 = -4, α^100 = (-4)^25 = - 2^50
気が付くなら、α^4 = {-2(α+1)}^2 = 4(α^2+2α+2) - 4 = - 4 を利用しても勿論よいです。

回答No.4

info22

(x^2)+x+1=0の一つの解をwとすると
(w^2)+w+1=0　…(1)
他の解は解と係数の関係から
1/w=-1-w
この解が(1)から
1/w=w^2　…(2)
となります。
(2)から
w^3=1　…(3)

多項式に(x-1)を掛けた式が(x^3-1)で割り切れるという問題に帰します。
f(x)=(x-1){(x^100+1)^100+(x^2+1)^100+1}
f(1)=0 → f(x)は(x-1)で割り切れる。
(1),(2),(3)を使って以下の計算をします。
f(w)=(w-1)[{(w*(w^3)^33 +1)^100}+{(w^2+1)^100}+1]
=(w-1)[{(w +1)^100}+{(-w)^100}+1]
=(w-1)[{(-w^2)^100}+(w^100)+1]
=(w-1){(w^200)+(w^100)+1}　…(4)
=(w-1)[(w^2)*{(w^3)^66}+w*{(w^3)^33}+1]
=(w-1){(w^2)+w+1}=(w^3)-1=0　→f(x)は(x-w)で割り切れる。

f(w^2)=(w^2-1)[{(w^200)+1)^100}+{(w^4+1)^100}+1]
=(w+1)(w-1)[{(w^2)*((w^3)^66)+1}^100+{(w+1)^100}+1]
=(w+1)(w-1)[{(w^2)+1}^100+{(-w^2)^100}+1]
=(w+1)(w-1)[{(-w)^100}+{(-w^2)^100}+1]
=(w+1)(w-1)[(w^100)+(w^200)+1]
(4)以降の変形と同様にして
=(w+1){(w^3)-1}=0　→f(x)は(x-w^2)で割り切れる。

因数定理から
f(x)は
(x-1)(x-w)(x-w^2)=(x-1){(x^2)+x+1}=(x^3)-1 で割り切れる。
したがって、
{(x^100+1)^100+(x^2+1)^100+1}は
{(x^2)+x+1}で割り切れる。

回答No.3

zk43

x^2+x+1=0の解は、x=-1/2±i√3/2=cos(2π/3)±isin(2π/3)
いわゆる、ド・モアブルの定理により、
x^100=(cos(2π/3)±isin(2π/3))^100
=cos(200π/3)±isin(200π/3)
=cos(2π/3)±isin(2π/3)
=-1/2±i√3/2
となって、
x^100+1=1/2±i√3/2=cos(π/3)±isin(π/3)
再び、ド・モアブルの定理により、
(x^100+1)^100=(cos(π/3)±isin(π/3))^100
=cos(100π/3)±isin(100π/3)
=cos(4π/3)±isin(4π/3)
=-1/2±i(-√3/2)
次の部分は、
x^2=(cos(2π/3)±isin(2π/3))^2
=cos(4π/3)±isin(4π/3)
=-1/2±i(-√3/2)
x^2+1=1/2±i(-√3/2)=cos(5π/3)±isin(5π/3)
(x^2+1)^100=(cos(5π/3)±isin(5π/3))^100
=cos(500π/3)±isin(500π/3)
=cos(2π/3)±isin(2π/3)
=-1/2±i√3/2
以上から、
(x^100+1)^100+(x^2+1)^100+1
=-1/2±i(-√3/2)-1/2±i√3/2+1
=0
よって、(x^100+1)^100+(x^2+1)^100+1=0は、x=-1/2±i√3/2を解に
持つので、x-(-1/2+i√3/2)とx-(-1/2-i√3/2)を因数に持ち、その
積である、{x-(-1/2+i√3/2)}{x-(-1/2-i√3/2)}=x^2+x+1を因数に
持つ、すなわち、x^2+x+1で割り切れる。

回答No.2

abyss-sym

x^2+x+1=0 の２つの解をα,βとします。
α^3=1,β^3=1 となることを使います。

f(x)=(x^100+1)^100+(x^2+1)^100+1 = (x^2+x+1)Q(x)+Ax+B
と置きます。

f(α)=(α^100+1)^100+(α^2+1)^100+1 = (α+1)^100+(α^2+1)^100+1

ここで,x^2+x+1=0 の解はαだから,α^2+α+1=0 すなわちα^2+1=-α
これを代入して,

f(α)=(α+1)^100+α^100+1=(α+1)^100+α+1

また,α+1=βが成り立つことから

f(α)=β^100+α+1=β+α+1

あとは,実際に解の公式で求めたα,βを代入してf(α)=0

したがって,f(α)=Aα+B=0 同様に f(β)=Aβ+B=0
この二つの連立方程式からA=B=0 すなわち余り0
よって割り切れます。