高校１年 数学 証明問題

質問

数学の証明問題

(a^3+2a)/(a+1)=(b^3+2b)/(b+1)=(c^3+2c)/(c+1)=k, a≠b, b≠c, c≠a の時

問１、a+b+c=0を示せ。

問２、abc=kを示せ。

この問題が解けなくて困っています。
どなたかご教授願います。

回答No.1

spring135 · ベストアンサー

(a^3+2a)/(a+1)=(b^3+2b)/(b+1)=(c^3+2c)/(c+1)=kより
a^3+2a=ka+k (1)
b^3+2b=kb+k　(2)
c^3+2c=kc+k　(3)
(1)－(2)より
a^3-b^3+2(a-b)=k(a-b)
a≠bより
a^2+ab+b^2+2=k　(4)
同様に(2)－(3)、(3)－(1)より
b^2+bc+c^2+2=k　(5)
c^2+ca+a^2+2=k　(6)

(4)－(5)より
a^2-c^2+b(a-c)=0
a≠ｃより
a+b+c=0

問2
(1)＋(2)＋(3)を整理すると

(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca+2-k)=3(k-abc)
a+b+c=0
より

abc=k

お礼

大変参考になります。
ありがとうございました