証明問題

質問

証明問題

離散数学の証明問題です。

束における交換則や結合則などを式変形によって証明する問題なのですが、うまく証明できません。
次の問題を証明していただけるとありがたいです。
定義より自明ではなく、厳密に証明しないといけません。

Lを束とする。このとき、任意のa,b,c∈Lに対して、次の(1)～(3)が成立することを示せ。
また、(3)は(2)から導けることを示せ。
(1)a＋（b＋c）＝（a＋b）＋c
　a・（b・c）＝（a・b）・c
(2)a＋（a・b）＝a
　a・（a＋b）＝a
(3)a＋a＝a
　a・a＝a

回答No.1

alice_44 · ベストアンサー

束の公理 ↓
http://math.artet.net/?eid=976845

(1)(2)は、公理ですから、「束」の定義の一部ですね。
厳密な証明は、「定義により自明」以外ありえません。

(2)から(3)導くところが演習かな？

a＋(a・b) = a に b = a＋a を代入して、a＋{ a・(a＋a) } = a。
a・(a＋b) = a に b = a を代入して、a・(a＋a) = a。
２式を比較して、{ } 内を整理すれば、a＋a = a。

a＋(a・b) = a に b = a を代入して、a＋(a・a) = a。
a・(a＋b) = a に b = a・a を代入して、a・{ a＋(a・a) } = a。
２式を比較して、{ } 内を整理すれば、a・a = a。

お礼

(1)(2)も問題演習の課題として与えられたので、何とかして証明しないといけないのですが、束の定義の一部である以上、どうしようもないですね。
別の表現で(1)(2)(3)を表現してみよということかもしれないです。
(2)から(3)を導くことについては良く分かりました。
ありがとうございます。

回答No.3

Tacosan

「うまく証明できません」ということは, 「なんとなくそれっぽいものはある」ってことだよね. それはどんなもの?
http://okwave.jp/qa/q5937722.html
でもいわれていることなんだけど, 順序構造で束を定義したとして + や ・ はどのように定義「している」の?
http://okwave.jp/qa/q5937750.html
で「厳密な定義なしに『厳密な証明』など不可能です」って書いておいたんだけど, どうも意味を理解できたいないように読めます. 「+ や ・ をどのように定義しているのか」は探した?

補足

束Lに対してa,b∈Lであり
{a,b}の上限のことを＋を用いてa+bと定義する。
{a,b}の下限のことを・を用いてa・bと定義する。
このように習いました。

回答No.2

nag0720

Wikipediaによると、束の定義は「順序構造としての定義」と「代数的定義」があるようです。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9D%9F%E8%AB%96

「代数的定義」では(1)(2)自体が定義ですから、証明しようがありません。

証明するなら、「順序構造としての定義」で定義して、
(1)結合則
(2)吸収則
(3)冪等則
を証明すべきでしょう。

なお、(2)から(3)を導くには、
x＋（x・y）＝x
でx=a、y=a＋bと置くと、
a＋（a・（a＋b））＝a
∴a＋a＝a　（∵a・（a＋b）＝a）

お礼

(2)から(3)を導く過程は分かりました。
ありがとうございます。
課題は「順序構造としての定義」で定義されていると思います。
(1)結合則
(2)吸収則
(3)冪等則
を証明するのは分かりますが、証明の仕方がわかりません。
何から書き始めればいいのか見当がつかないんです。
単純なだけに逆に証明しにくいです。
ご解答いただけませんか？