数学の問題の解説お願いします。

質問

シニア数学演習

190

ａを実数とし、連立不等式
　ａx+y≦7、2x-y≧-1、2x+y=≦9、2x+3y≧11
の表す領域をＤとする。

(1)領域Ｄが四角形になるためのａの条件を求めよ。
(2)ａは(1)の条件を満たすとする。
　 点(x,y)が領域Ｄ内を動くとき、2x+yの最大値と最小値を求めよ。

解答
(1)1＜ａ＜3/2
(2)最大値9、最小値5

解法を教えてくださると助かります。
よろしくお願いします。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

図を描きましたので添付します。

(1)
図の△ABCの内部（境界線を含む）領域が３つの不等式
　x-y≧-1、2x+y=≦9、2x+3y≧1　...(A)
を満たす領域である。
　ａx+y≦7 ...(B)
の境界線である
　y＝-ax+7 ...(C)
は定点R(0,7)を通り、傾き-aの直線である。
(A)および(B)を満たす領域が四角形になるための必要十分条件は
直線(C)が直線BCと△ABCの辺BC（両端のB,Cは含まず）上で交わることである。
つまり交点Qが辺BC（両端のB,Cは含まず）上にあることである。
この時の四角形領域は図の四角形ABQP(水色塗り潰し領域)である。
交点Qが辺BC（両端のB,Cは含まず）上にあること,即ち
Qが頂点BとCの間にあればよいから、この時のaの範囲は
　1＜a＜3/2
となる。

(2)
　2x+y=k ...(D)
とおくと、四角形領域ABQPの内部領域（境界線を含む）の点(x,y)に対して
2x+yの取りうる範囲は、
四角形領域ABQP(境界線を含む)と直線(D)（図の赤い直線）が共有点を持つような
kの範囲でもある。
kの最小値は（D）が点A(1,3)を通る時で　k=5の時であり、
kの最大値は（D）が点B(4,1)を通る時（この時点Q((2/(2-a),9+4/(a-2)))も通る）で
　k=9の時である。最大値をとる時のx,yは線分BQ（両端B,Q含む）上の全てのx,yである。
以上から、共有点を持つ時のkの範囲は
　5≦k≦9
(D)から
　最大値9、最小値5

というように図を描いて図的に解くと分かり易いでしょう。

お礼

何から何までありがとうございます。
添付していただいた図のおかげで
とても理解しやすかったです！

回答No.1

Cupper-2

式が示す領域と言うことですので、とりあえず条件で示される式を全て

　　ｙ＝
　　ｙ≦
　　ｙ≧

の形に変形してから考えましょう。
でもって、それをグラフに描いてみる。
描いたグラフを見つめていれば、解法のヒントを自身で見つけられますよ。

…
面倒と思うかもしれませんが、
意外とコレ、楽しいですからやってみてくださいな。

お礼

ありがとうございます。