図形と方程式を教えて下さい

質問

連立不等式
ｘ^２＋ｙ^２≦１０
ｘ＋２ｙ≧１
１≦ｘ≦３

の表す領域をＤとする。

（１）円ｘ２^＋ｙ^２＝１０上の点（１，３）における接線の傾きを求めよ。また、円ｘ^２＋ｙ^２＝１０と直線ｘ＋２ｙ＝１の交点のうち、第４象限にあるものの座標を求めよ。

（２）ａ＞０とする。点（ｘ，ｙ）がＤ上を動くとき、ａｘ＋ｙの最小値をｍとする。このとき、ｍをａを用いて表せ。

（３）０＜ａ＜１／２とする。点（ｘ，ｙ）がＤ上を動くとき、ａｘ＋ｙの最大値をＭ、最小値をｍとする。Ｍ^２－ｍ^２＝１２となるａの値を求めよ。

解答と解説をよろしくお願いします。

回答No.3

mister_moonlight · ベストアンサー

この問題のポイントの説明もしないで、答えだけ書いて何の意味があるのか、ア〇回答者よ。。。ｗ

＞（２）ａ＞０とする。点（ｘ，ｙ）がＤ上を動くとき、ａｘ＋ｙの最小値をｍとする。このとき、ｍをａを用いて表せ。

3つの条件式を座標に書いてみる。ａｘ＋ｙ＝αとすると、ｙ＝-ａｘ＋α　だから　０＜ａよりこれは傾きが負の直線。
従って、最小値は　点(1、0)　か　点(3、-1)が与えるだろうと推測がつく。(1)で第4象限での交点を求めさせている事からも気がつく。
そこで、問題はその時のａの条件になる。そこでカギは　条件の直線：ｘ＋２ｙ＝１の傾きになる。その傾きは　-1/2　であり０＜ａから次の2つの場合がある。
(1)　a≧1/2の時　最小値は点(1、0)を通るときで　ａｘ＋ｙ＝α＝ａ　が最小値。
(2)　0＜a≦1/2　の時　最小値は点(3、-1)を通るときで　ａｘ＋ｙ＝α＝3ａ-1　が最小値。

ａによって場合分けするこの手の問題は、最近は頻出になっている。

この問題で最大値を求めてみると良い。
点(1、3)　点(3、1)　接するとき　の3つの場合わけが必要になるだろう。

回答No.2

info22_

(1)
接線は
1*x+3*y=10
なので
y=-(x/3)+(10/3)
接線の傾き=-1/3

円x^2+y^2=10と直線x+2y=1の連立方程式を解でy<0のものが求める交点で
(x,y)=(3,-1)

(2)
m=a (a≧1/2の時)
m=3a-1 (0<a≦1/2の時)

(3)
(2)より
m=3a-1 (0<a<1/2の時)
M=a+3 (0<a≦1/3の時)
M=√{10(1+a^2)} (1/3≦a<1/2の時)

(0<a≦1/3の時)
M^2-m^2=12
M=a+3,m=3a-1に代入してaを求めるとa=1,1/2。これらは場合の条件を満たさない。

(1/3≦a<1/2の時)
M^2-m^2=12
M=√{10(1+a^2)},m=3a-1に代入してaを求めると
a=2(√3)-3 (≒0.4641)。これは場合の条件を満たす。

(答え)a=2(√3)-3

回答No.1

asuncion

とりあえず(1)
x²+y²=10
の両辺をxで微分して、
2x+2yy'=0
より、
y'=-x/y
右辺にx=1,y=3を代入して、
点(1,3)における接線の傾きは-1/3

x+2y=1
より、
x=1-(2y)
を
x²+y²=10
に代入すると、
1-4y+5y²=10

5y²-4y-9=0
(y+1)(5y-9)=0
第4象限はy<0
∴y=-1
x=1-(-2)=3
求める点の座標は(3,-1)