数学

質問

平面上の点A、B、Cの座標をそれぞれ（０、a) (b,0)(c,0)とする。
ただし、a>0,b<0,c>0とする。
１、三角形BCHの垂心が点Aとなるような点Hを求めよ。
２、線分HAの中点をM、線分BCの中点P、線分BHの中点をQとする。∠PQM＝９０であることを示せ。
３、点P,Q,Mを通る円の中心Nの座標を求めよ。
４、点P,Q,Mを通る円は線分ABの中点Rおよび原点を通ることを示せ。

答えは１、H（０、-bc/a) 2,略　3,N(b＋ｃ/４,1/4(a-bc/a)) 4,略

すみませんが、計算過程を教えてください

回答No.1

noname#158987

１．
Ａが三角形ＢＣＨの垂心となるには、点Hはｙ軸上にある必要あり。
なぜなら、ＢＣに対して垂直で、かつＡを通らねばならないから。
そこで、H(0,h)とすると、Ａが垂心であることから、以下の式が成り立つ。
（ＢＡの傾き）ｘ（ＣＨの傾き）＝－１
⇒　(-a/b) x (-h/c) = -1

（ＣＡの傾き）ｘ（ＢＨの傾き）＝－１
⇒　(-a/c) x (-h/b) = -1

どちらの式からも、h=-bc/a
が求まる。

よって、Ｈ（0,-bc/a）

２．
ＱＭとＰＱそれぞれの傾きの積が -1 となることを示せばよい。
条件から、
Ｍ（0, (a^2 - bc)/2a ）
Ｐ( (b+c)/2 , 0 )
Ｑ（ b/2 , -bc/2a ）

QMの傾き＝（計算してね。）＝ -a/b
PQの傾き＝（計算してね。）＝b/a
よって、積が-1となり、∠PQM＝９０°となる。

３．
設問２．から
∠PQM＝９０°ということが分かっているので、
ＰＭはＰＱＭを通る円（三角形ＰＱＭの外接円）の直径である。
よって、中心ＮはＰＭの中点である。
ゆえに、Ｎ（(b+c/4) , (a^2-bc)/4a ）
質問者さんの示した答えと、ｙ座標の表記が違いますが、計算してみれば同じことが分かるはず。

４．
ＰＭがＰＱＭを通る円（三角形ＰＱＭの外接円）の直径であることは設問２．で分かる。

原点がＰＱＭを通る円（通ることを示すにあたって、
原点をＯとすると、角ＰＯＭが９０度であることを示せばよいが、
ＰＯＭが直交しているのはあきらか（Ｘ軸とＹ軸は直交）なので、原点は通る。

中点ＲがＰＱＭを通る円を通ることを示すには、
角ＰＲＭが９０度であることを示せばよい。
即ち、ＲＭとＰＲが直交することを言えばよい。
Ｒ（b/2, a/2）なので、
ＲＭの傾き＝（計算してね。）＝ c/a
ＰＲの傾き＝（計算してね。）＝ -a/c
よって二つの傾きの積がー１になることが分かる。
ゆえに角ＰＲＭが９０度であるので、
Ｒも点P,Q,Mを通る円を通る。