数学

質問

平面上の点A、B、Cの座標をそれぞれ（０、a) (b,0)(c,0)とする。
ただし、a>0,b<0,c>0とする。
１、三角形BCHの垂心が点Aとなるような点Hを求めよ。
２、線分HAの中点をM、線分BCの中点P、線分BHの中点をQとする。∠PQMを求めよ。
３、点P,Q,Mを通る円の中心Nの座標を求めよ。
４、点P,Q,Mを通る円は線分ABの中点Rおよび原点を通ることを示せ。

答えは１、H（０、-bc/a) 2,略　3,N(b＋ｃ/４,1/4(a-bc/a)) 4,略

すみませんが、計算過程を教えてください

回答No.1

151A48

（１）△ＢＣＨの垂心がＡなので，ＨはＡの真上にある。Ｈ(0,h)とおく。
ベクトルＢＨ＝(-b,h) , ベクトルＣＡ＝(-c,a)　と計算できるのでＢＨ⊥ＣＡより
ベクトルＢＨとベクトルＣＡの内積＝bc+ah=0 ∴h=-bc/a H(0 , -bc/a)
（２） M (0, (a+h)/2), P( (b+c)/2 , 0 ), Q(b/2, h/2)より
ベクトルＱＭ＝(-b/2, a/2) , ベクトルQP=(c/2, -h/2)
ベクトルＱＭとベクトルQPの内積＝-bc/4 -ah/4=0 　（h=-bc/a　だから）　よって∠ＰＯＭ＝90°
（３）ＮはＰＭの中点なので，Ｎ（(b+c)/4, (a+h)/4）＝（(b+c)/4, (a- bc/a)/4）
（４）Ｒ（b/2, a/2）
　　円の半径＝ＮＰ（or ＮＭ）で，これがＮＲ，ＮＯ（Ｏは原点）に等しいことを言えばよい。