どうしたらいいか分かりません お願いします

質問

鈍角三角形ABCについて考える。辺AB,BC,CDの中点をそれぞれP,Q,Rとして線分PQ,QR,RPでこの三角形を折り曲げて四面体OPQRを作る。ただしOは折り曲げた際のA,B,Cで重なった点とする。このとき頂点Oから底面ABCに下ろした垂線の足Hは三角形ABCの垂心であることを証明せよ

回答No.2

staratras

>鈍角三角形ABCについて考える。

画用紙などある程度の厚さのある紙を折って作ってみれば明かですが、「鈍角三角形」では、題意を満たすような四面体は作ることができません。「鋭角三角形ABC」ではありませんか。

回答No.1

gohtraw

例えば△ABCを線分PRで折り曲げるとき、点Aはどのような軌跡をたどるか考えます。
△ABCを含む平面に垂直、かつ点Aを通る平面上を動くはずです。この過程で、動いている
点Aから△ABCに垂線を下ろすと、その足の軌跡は、Aを通りPRに垂直な直線上にあります。PRに垂直ということはBCに垂直ということですね。

点BおよびCについても同様に考えると、
動いている点Bから△ABCに下ろした垂線の足はBを通りCAに垂直な直線上にある
動いている点Cから△ABCに下ろした垂線の足はCを通りABに垂直な直線上にある

事が判ります。これら三つの直線の交点は△ABCの垂心に他なりません。