数Bの問題教えてください

質問

１*１+２*２+３*２＾２+…+ｎ*２＾（ｎー１）
の和の解き方を教えてください。
答え（ｎー１）*（２＾ｎ）+１

和をSnとして引いて求めると思うのですが、答えがあいません。
最後まで詳しく解説していただくとありがたいです。

回答No.1

sphenis · ベストアンサー

Sn=１*１+２*２+３*２＾２+…+ｎ*２＾（ｎー１）
とします。

2Sn=１*２+２*２＾２+３*２＾３+…+ｎ*２＾ｎ
ですので、

Sn=2Sn-Sn
=-1＋(-2)＋(-2^2)＋(-2^3)＋…＋(-2^(n-1))＋n*2^n
=-(1＋2＋2^2＋2^3＋…＋2^(n-1))＋n*2^n
=-(2^n-1)/(2-1)＋n*2^n
=n*2^n-2^n＋1
=(n-1)2^n＋1

不明な点・分かりにくい点等ありましたらどうぞ遠慮なく補足してください。

お礼

ありがとうございました。
よく分かりました。

回答No.2

DJ-Potato

はい。

Sn = 1・2^0 + 2・2^1 + 3・2^2 + ・・・ + n・2^(n-1)
2Sn = 1・2^1 + 2・2^2 + 3・2^3 + ・・・ + (n-1)・2^(n-1) + n・2^n

(2-1)Sn = n・2^n - Σ[0~n-1]2^k
Sn = n・2^n - 1・(1-2^n)/(1-2)　　　　　・・・※
= n・2^n - (2^n - 1)
= n・2^n - 2^n + 1
= (n - 1)・2^n + 1

※　初項a　公比r　項数n　の等比数列の和
　 = a + ar + ar^2 + ar^3 + ・・・ + ar^(n-1)
　 = a(1-r^n)/(1-r)
ですね。

お礼

ありがとうございました。