数Ｂ 複雑な数列

質問

数Ｂ　　複雑な数列

こんにちは。数学でどうしても分からなかったので質問します。

問題　1×x.3×x^2.5×x^3.7×x^4・・・・・.(2n-1)×x^n (x≠1)
このときの和を求めよ、というものです。

とりあえず解説を見ながら、ｓn=1×x+3×x^2+5×x^3+7×x^4+・・・・・+(2n-1)×x^n から、
xｓn=1×x^2+3×x^3+5×x^4+7×x^5+・・・・・+(2n-3)×x^n+(2n-1)x^n+1 をひいて、
出てきた数を２乗できるとこだけして
x+2x^2(1+x+x^2+・・・・・+x^n-2)-(2n-1)x^n+1
それでかっこの中身を等比数列の和の公式に当てはめるというとこまでできたんですが、
それからの式の立て方がわかりません。
特にｘが２乗になってるのとか、３乗になってるのとかの扱い方がわかりません(^_^;)
答えはｓn=(2n-1)x^n+2-(2n+1)x^n+1+x^2+x　分の　(1-x)^2 になります。
大まかな流れとしては和の公式で出てきた分母に合わせて通分して、分子を計算していってるぽいです。

頭がだいぶ混乱してきてるので、分かりやすい解説おねがいします・・・！！

回答No.1

spring135 · ベストアンサー

Sn=1x+3x^2+5x^3+7x^4+・・・・・+(2n-1)x^n
xSn=1x^2+3x^3+5x^4+7x^5+・・・・・+(2n-1)x^(n+1)

Sn-xSn=x+2x^2+2x^3+.....+2x^n-(2n-1)x^(n+1)
=2x+2x^2+2x^3+.....+2x^n-(2n-1)x^(n+1)-x
=2x(1-x^n)/(1-x)-(2n-1)x^(n+1)-x
Sn=(2x(1-x^n)-(2n-1)x^(n+1)(1-x)-x(1-x))/(1-x)^2
=(2x-x+x^2-2x^(n+1)-(2n-1)x^(n+1)+(2n-1)x^(n+2))/(1-x)^2
=((2n-1)x^(n+2)-(2n+1)x^(n+1)+x^2+x))/(1-x)^2

お礼

やっと理解しました＾＾
こんなに複雑だったんですね・・・難しいです。
解答とても助かりました。ありがとうございます！