高1数学 二次方程式の問題です

質問

y＝x^2+mx+2の式があります。
定数mの値の範囲を求めなさい。

（１）　この放物線と正の部分の2点と交わる。

（２）　この放物線とｘ軸のｘ＜－１の部分が異なる２点で交わる。

という問題があります。

この問題を考える時に、
軸の方程式は　　ｘ＝－（ｍ/2）
という事を考えなければいけません。

なぜこのようになるのでしょうか？？？

この問題の答えと解説、もしくは考え方やヒント、解くためのポイントなど・・・
なんでもいいのでおねがいします。

月曜日にテストなので宜しくお願いします。

回答No.2

mister_moonlight · ベストアンサー

＞二次方程式の問題です

2次方程式の問題だとわかってるなら、そのように解けば良い。

＞（１）　この放物線と正の部分の2点と交わる

この問題文はおかしい。
この放物線が“ｘ軸の”正の部分と2点で交わる、でないと可笑しい。

ｘ軸の正の部分と2点で交わるから、y＝x^2+mx+2　と　y＝0(ｘ軸)と連立した、x^2+mx+2＝0が正の解を2つ持つと良い。但し、重解も解が2個とする。
判別式≧。2解の和＝-m＞0、2解の積＝2＞0　のmの共通範囲を求める。

＞（２）　この放物線とｘ軸のｘ＜－１の部分が異なる２点で交わる。

考えられる解き方はいくつかある。

(解法-1)　解と係数を使う。
2解をα、βとすると、α＋1＜0、β＋1＜0　だから、判別式≧0、(α＋1)＋(β＋1)＝(α＋β)＋2＜0、(α＋1)*(β＋1)＝αβ＋(α＋β)＋1＞0.
これに解と係数から、α＋β＝-m、αβ＝2を代入し、共通範囲を求める。

(解法-2)　解の分離の知識を使う。
f(x)＝x^2+mx+2＝0 と、すると　判別式≧0、f(-1)＞0、軸(＝-m/2)＜-1.として共通範囲を求める。
なぜ、こうなるか？　放物線を考えてみると良い。

(解法-3)　本質的には、解法-2　と同じなんだが。
y＝f(x)＝x^2+mx+2＝(x+m/2)＾2＋4-m＾2/4　であるから、この放物線が、ｘ軸のｘ＜－１で交点を持つには、4-m＾2/4＜0、f(-1)＞0、軸(＝-m/2)＜-1。

(解法-4)
x^2+mx+2＝0から、x^2+2＝-mx　と変形して、放物線：y＝x^2+2 と 原点を通る直線：y＝-mx　がｘ＜－１で2つの交点を持つ条件を考える。

と、いくつか方法はあるが、(解法-2)が一番簡単。この方法は、教科書で習ってるはずだが？

お礼

回答ありがとうございます。

解法はいくつかあるんですね。

明日ませに復習しようと思います。

回答No.1

tomokoich

y=x^2+mx+2
を平方完成すると
={x+(m/2)}^2-m^2/4+2
={x+(m/2)}^2-(m^2-8)/4
頂点の座標がx=-m/2,y=-(m^2-8)/4なので

例えば（１）の場合だと正の部分2点と交わるということは頂点の位置x=-m/2がこの間に入るようにするので軸x=-m/2で考えるのだと思います

お礼

回答ありがとうございます。

平方完成で考えるんですね！！

参考にして考えたいと思います。