数学 二次関数の問題

質問

aを定数とするとき、次の二次関数の最大値を求めよ。
y = -x+ax+3　　(-2≦x≦1)

答えは
a＜-4　のときM=2a-1
-4≦a＜2　のときM=a^2/4+3
2≦a　のときM=a+2

となるようなのですが、さっぱり意味がわかりません。
aをまず求めようとしてもy=2+aなどと出てきて解けません。
どなたか解説お願いします。

回答No.1

suko22 · ベストアンサー

y=-x^2+ax+3
=-(x^2-ax)+3
=-(x-a/2)^2+(a^2)/4+3

よって頂点(a/2,(a^2)/4+3)、軸x=a/2とわかる。

グラフは上に凸であることからｘの範囲がなければ、頂点のｙ座標がそのまま最大値となるが、
今-2≦x≦1と範囲があり、さらにグラフの軸がx=a/2であることから、
最大値を考える上で軸の位置による場合わけが必要になる。
（簡単なグラフを書いて考えてみてください）

（i）軸x=a/2<-2、すなわちa<-4のとき、
　　　x=-2のとき最大値をとる。（簡単な図を書けばすぐわかります）
　　　∴M=y=-(-2)^2-2a+3=-2a+1

（ii）軸が-2≦a/2<1にあるとき、すなわち-4≦a＜2のとき、
　　　頂点のｙ座標が最大値になる。（簡単な図を書いてください）
　　　∴M=(a^2)/4+3

（iii）軸x=a/2≧1、すなわちa≧2のとき、
　　　x=1のとき最大値をとる。（簡単な図で確認できます）
　　　∴M=y=-1^2+a+3=a+2

この問題の場合、軸の位置が定まっていないので、xの範囲と軸の位置との関係で
最大値が異なることがわかります。

まず範囲を図で定めて（-2≦ｘ≦1）、
軸が上記の３パターンで最大値が異なることが、簡単な図を書けばわかります。

＞aをまず求めようとしてもy=2+aなどと出てきて解けません。
aを求めるってどういう意味ですか？
aは今は定数扱いです。
式を変形すると軸x=a/2であることがわかり、a/2の値により軸の位置がかわり、
それにより最大値も変わるということなので、aによる場合わけが必要となります。

この手の問題は理解できるまでは難しく感じるかもしれません。
簡単な図を描いてよく考えてみてください。

この問題で大切なことは軸がa/2の値によってかわること、
そしてxの範囲がきめられていることです。
これにより最大値が軸の場所により３つのパターンにわかれることに
簡単な図を書いて気づいてください。

なにかありましたら補足してください。

お礼

アンサーありがとうございます。
定数の意味を履き違えていたみたいです。
図を描いてみたらよくわかりました。
二次関数はきちんと理解するまでちゃんと図も書かないとだめなようですね。
ありがとうございました。

回答No.3

ferien

ANo.2です。済みません。入力ミス。

＞グラフを描いて考えます。上に凸な放物線です。
です。

回答No.2

ferien

＞aを定数とするとき、次の二次関数の最大値を求めよ。
＞y = -x+ax+3　　(-2≦x≦1)
グラフを描いて考えます。下に凸な放物線です。
ｆ（ｘ）＝－ｘ^2＋ａｘ＋３
＝－（ｘ^2－ａｘ＋ａ^2／４）＋ａ^2／４＋３
＝－（ｘ－ａ／２）^2＋ａ^2／４＋３
より、軸ｘ＝ａ／２
ｘの範囲と軸の位置の関係で場合分けします。
軸がｘの区間内にあるとき、
－２≦ａ／２≦１より、－４≦ａ≦２のとき、最大値ａ^2／４＋３
軸がｘの範囲の左側にあるとき、
軸より右側が-2≦x≦1ｘで、その区間で単調減少なので、
ａ／２＜－２より、ａ＜－４のとき、最大値ｆ（－２）＝－２ａ－１
軸がｘの範囲の左側にあるとき、
軸より左側が-2≦x≦1で、その区間で単調増加なので、
１＜ａ／２より、２＜ａのとき、最大値ｆ（１）＝ａ＋２

よって、答えの通りになります。

グラフを描いて見ると分かると思います。

お礼

Ferienさんもありがとうございました。