この算数解いて下さい（開成中学入試）

質問

本日（土曜日）の朝日新聞の朝刊に広告として
大問4（小問計10問）が載っていたのですが

一部分からず、親と一緒になって解いたのですが解けなかったため、
教えて下さい。

母は教員免許を持っているのに分からず、
早く解答が知りたかったようなので、質問します。（月曜日になれば仕事が始まるので、聞ける人もいるのですが）

計2問です。

一つ目。
鶴亀算の応用かとは思うのですが。

ツル、カメ、トンボの数をかぞえました。
仮にツルの数をカメの数とし、カメの数をトンボの数とし、トンボの数をツルの数とすると、足の本数の合計は200本になります。一方、実際の足の本数も200本です。
実際のツルの数として考えられるものを全て答えなさい。
ただしそれぞれの生物の数は1以上とします。足の数はそれぞれ2，4，6本です。

解答は一番下に掲載させていただきます。
（私が知りたいのは解答ではなく、解説ですので、
もし、解答を知る前に解きたい場合は解いてからスクロールしてください）
（できるだけ解説を詳しく書いていただけると助かりますが、計算式等で記載しにくい場合は、簡潔でも構いません）

連立方程式にしてみたりとやってみたのですが
最終的に答えを見て、合ってると分かったのですが、ちょっと答えが分からないといいますか・・・・

二つ目は図形です。
図形は画像添付してあるのですが、書き込みしてしまい・・・（ボールペンで）見にくいかもしれません。
一応基の画像は本日土曜日の朝日新聞朝刊8面に載ってるかと思います。

AB=6cm、BC=7cmの三角形ABCの辺BC上に点Dをとり、三角形ABDを2点AとDを通る直線で折り返すと、点Bは右図のような点Eに重なります。AEとBCの交わる点をFとすると、CF=3cmになり、三角形ABCの面積が三角形DEFの面積の7倍になります。

（1）AF,BDの長さをそれぞれ求めなさい。

（2）三角形ACDを2点AとDを通る直線を軸として回転できる立体の体積は、
　　三角形ABDを2点AとDを通る直線を軸として回転できる立体の体積の何倍ですか。
　　（一応、中学入試ということで、この他に円すいの絵とともに「このような図を円すいといい、その体積は底面の円の面積×高さ÷３で求められますという文章もありました）

母は相似比？とか三角関数？（でも角度載ってないし・・）とかいろいろな方法を考えていましたが、分からなかったようです。
私は図形が大の苦手で中学校からは完全に放棄してましたので・・・・
小学校はやってたのですが、こんな高度なのはやりませんでした。
提示されている条件だけで、他をどう求めたらいいのか私は見当もつきませんので、解答見ても、理解できません。

開成だから難しいから・・・・というのもあるんですが、やっぱり中学入試が解けないというのは母はすごく解説が知りたいようです。

画像ちょっと見にくいかと思いますが、解説お願いします。
どちらか1問だけでも大丈夫です。

解答は
一つ目ツルの数は
５，１２，１９，２６，３３（１５，１６，１７，１８，１９）
と二通り？の数字が記載されていました。
なぜ二通りなのか分かりません。

母と一緒に解いたやり方では
ツル→x、カメ→y、トンボ→z
2x+4y+6z=200
6x+2y+4z=200

の結果30x+6z=600まで持って行けたのですが、これでいいのか分からず、解答と照らし合わせてみたところ括弧内の15～19までが当てはまったので、この導き方は合ってるんだと分かりました。
（ただ、連立方程式、小学校で習わないよなとか思いましたが。開成レベルだとやっぱり公立中学で習うようなことも知っておかないと駄目ということなのでしょうか？

答えが2通りあるのはなぜかと、これ以外の導き方、答えが５，１２，１９，２６，３３になる解き方が知りたいです。

二つ目図形。
答えはAF=3.6cm
　　　　BD=2.5cm
体積は3と6/25倍（分かるかと思いますが、一応25が分母です）
隣で母が解くのを見ていたのですが
小学校で習う範囲で解くんだから・・・・と相当悩んでいました。

回答No.3

oesky · ベストアンサー

面積の方を小学生的に。

ＡＢ上で三角形を作ってる点を点Ｇとします（説明のため）

折れ目を入れているので
三角形ＤＥＦと三角形ＢＤＧは合同です。
ＤＥＦの面積を1とすると三角形ＢＤＧも1です。
三角形ＡＢＣは7です。

線分ＣＦは3ですので、線分ＢＦは4。
よって
三角形ＡＣＦと三角形ＡＢＦの面積費も3：4です。
合計して7になるので、前述の1と7の面積比と共通する面積比だとわかります。

すると四角形ＡＧＤＦは4－1で3の面積比を持つことがわかります。
ここで補助線ＡＤを引くと、三角形ＡＧＤと三角形ＡＦＤは合同だとわかります（折ってつくった三角形なので）

よって三角形ＡＧＤの面積比は3÷2で1.5です

三角形ＢＤＧの面積比が１、三角形ＡＧＤは1.5で　底辺は共通ですので、
ＡＧ：ＦＢは1.5：1になります。
ＡＢは6ｃｍですので6/(1.5+1）×1.5＝線分ＡＧは3.6cm

ＡＧとＡＦは等しいのでＡＦは3.6ｃｍです。

同様に線分ＢＤを求めます
三角形ＡＢＤは2.5、三角形ＡＤＦは1.5の面積費。底辺はともに線分ＢＦ4ｃｍです。
よって4/(2.5+1.5)×2.5＝2.5ｃｍです

体積のは前の回答者さんのがわかりやすいです。

回答No.4

ferien

１）ツル→x、カメ→y、トンボ→z
2x+4y+6z=200　……（１）
4x+6y+2z=200　……（２）
どちらも両辺を２で割ると、
ｘ＋２ｙ＋３ｚ＝１００　
２ｘ＋３ｙ＋ｚ＝１００　ｚ＝１００－２ｘ－３ｙ　……（３）
（３）を上の式に代入して整理すると、
５ｘ＝２００－７ｙ　……（４）
７ｙが５の倍数になり、２００を越えないようにｙの値を決めると、
ｙ＝５，１０，１５，２０，２５
このとき、（３）（４）より、
ｘ＝３３，２６，１９，１２，５
ｚ＝１９，１８，１７，１６，１５

２）
AB=6cm、BC=7cmの三角形ABCの辺BC上に点Dをとり、三角形ABDを2点AとDを通る直線で折り返すと、点Bは右図のような点Eに重なります。AEとBCの交わる点をFとすると、CF=3cmになり、三角形ABCの面積が三角形DEFの面積の7倍になります。

>（1）AF,BDの長さをそれぞれ求めなさい。
ＥＤを延長しＡＢとの交点をＧとする。
三角形ABDを2点AとDを通る直線で折り返すと、点Bは右図のような点Eに重なります。より、
△ＡＢＤと△ＡＥＤは合同　……（１）だから、
△ＤＢＧと△ＤＥＦが合同　……（２）、△ＡＧＤと△ＡＦＤが合同　……（３）も分かります。
△ＡＢＣの面積＝１とすると、（２）より、△ＤＢＧ＝△ＤＥＦ＝1/7　……（４）
△ＡＣＦ＝3/7だから、（３）（４）より、
△ＡＧＤ＝△ＡＦＤ＝（1-1/7-3/7）／２＝3/14　
（１）より、△ＡＢＤ＝△ＡＥＤ＝1/7＋3/14＝5/14　また（３）よりＡＦ＝ＡＧ
△ＡＢＤで、ＡＧ：ＡＢ＝△ＡＧＤ：△ＡＢＤ＝3/14：5/14＝３：５
ＡＧ：６＝３：５より、ＡＧ＝18/5＝3.6　よって、ＡＦ＝3.6ｃｍ
△ＡＢＦで、ＢＤ：ＤＦ＝△ＡＢＤ：△ＡＤＦ＝5/14：3/14＝５：３
ＢＤ：４＝５：（５＋３）　よって、ＢＤ＝20/8＝2.5ｃｍ　

>(2）三角形ACDを2点AとDを通る直線を軸として回転できる立体の体積は、
　　三角形ABDを2点AとDを通る直線を軸として回転できる立体の体積の何倍ですか。
回転軸ＡＤは両方に共通の立体の高さになる。
△ＡＣＤと△ＡＢＤをＡＤを底辺と見ると、
高さの比は面積比で、それは立体の底面の半径の比でもある。
△ＡＣＤの半径ｒ1，△ＡＢＤの半径ｒ2とすると、
ｒ1：ｒ2＝（3/7＋3/14）：（1/7＋3/14）＝９：５
△ＡＣＤの体積＝(1/3)πｒ1^2×ＡＤ
（底面で上下に円錐をくっつけた形で、高さの合計はＡＤ）
ＡからＢＥに垂線をおろして交点をＨとすると
△ＡＢＤの体積
(1/3)πｒ^2×ＡＨ－(1/3)πｒ^2×ＤＨ
＝(1/3)πｒ^2×（ＡＨ－ＤＨ）
＝(1/3)πｒ^2×ＡＤ
△ＡＣＤの体積：△ＡＢＤの体積＝ｒ1^2：ｒ2^2＝９^2：５^2＝８１：２５
よって、81/25倍

のように考えてみました。

お礼

皆さんご回答ありがとうございました。

皆さんベストアンサーにしたいぐらいだったのですが
すごく分かりやすかったNo.3さんをベストアンサーにさせていただきます。

回答No.2

hrsmmhr

１の答えが二つあるのは、鶴の数x,亀の数y,トンボの数zとすればx→y,y→z,z→xの場合と
x→z,z→y,y→xの二つを正解にしたと思います
2x+4y+6z=200…(1),2z+4x+6y=200…(2)
(1)-(2)は
-2x-2y+4z=0, z=(x+y)/2
(1)に代入して
5x+7y=200
7y=5(40-x)
yは5の倍数で200以下なのはy=5,10,15,20,25
x=33,26,19,12,5
z=19,18,17,16,15

2x+4y+6z=200…(1),2y+4z+6x=200…(2)
(1)-(2)より
-4x+2y+2z=0,x=(y+z)/2
(1)に代入して
5y+7z=200, 7z=5(40-x)
zは5の倍数よりz=5,10,15,20,25
y=33,26,19,12,5
x=19,18,17,16,15

２は
⊿ABDと⊿ADEが対称の位置にくる合同で面積が等しく⊿DEFの部分をｓとして全体をSとすると
⊿ABF=4/7*S=2*⊿ADF+⊿DEF,⊿ADF=1/2(4/7*S-s)=3/2*s,
AF:AE=3:5,AE=6よりAF=18/5=3.6
⊿ADF:⊿ABD=3/2*s:5/2*s=3:5, DF:BF=3:5, BF=4よりBF=20/8=2.5

三角錐の体積の比は、底面積の比で、直線ADへのB,Cからの垂線の長さの自乗の比で、
それはBD:CDが2.5:4.5=5:9であるから比は25:81

回答No.1

noname#157574

1問目は新課程の数学Aの内容で，1次不定方程式が必要です。
2問目の体積は81/25倍でよろしい。帯分数を用いる必要はない。

補足

回答ありがとうございます。

ですが私が知りたいのは、どうしたら、この解答が出るのかの解説ですので・・・