中３の数学について（空間図形）

質問

大至急お願いします。

中３の数学についての質問です。

空間図形の問題を解いていたのですが
大問まるごとわからない問題がありまして・・・

解答には答えしか載っていなくて
考え方がさっぱりわかりません；

1問1問面倒だとは思いますが
解説をお願いします。

下の図は立方体である。このとき、次の各問いに答えよ。

（1）3点B,D,Gを通る平面の切り口の形を答えよ。
ここで、BCの中点をM、CDの中点をNとする。
（2）3点M,N,Fを通る平面の切り口の形を答えよ。
（3）3点M,N,Gを通る平面の切り口の形を答えよ。
（4）3点M,N,Eを通る平面の切り口の形を答えよ。
（5）BFの中点をLとしたとき、3点L,M,Nを通る平面の切り口の形を答えよ。
（6）立方体の1辺を6ｃｍとする。（1）で切り取った立体のうち、点Cを含む立体の体積を求めよ。

模範解答も一応載せておきます。

（1）正三角形
（2）（等脚）台形
（3）二等辺三角形
（4）五角形
（5）正六角形
（6）36cm2（←平方センチメートルです。見えにくいかもしれません；）

図は画像の通りです。
見えにくかったらすいません；

できれば今日の9：00までには・・・
解説よろしくお願いします。

回答No.1

TheTukkomi · ベストアンサー

（１）１辺の長さをaとおくと辺ＢＤ・辺ＢＧ・辺ＤＧはそれぞれ三平方の定理より√２aとあらわされます。よって切り口の図形ＢＤＧは三辺が等しい三角形なので正三角形です。
（３）三角形ＣＭＧとＣＮＧにおいて辺ＣＧが共通・ＭＣ＝ＮＣ・角Ｃが９０°より二等辺三角形の合同がしょうめいされます。よってＭＧ＝ＮＧです。なお辺ＭＮはＭＧおよびＮＧとは三平方の定理より等しくないので、ＭＧ＝ＮＧの二等辺三角形がわかります。

すみません。これが僕の限界です。答えは理解できるのですが説明できません。

回答No.3

TheTukkomi

３度目のＮｏ．１です。
（２）ＭＮに並行でＦを通る辺を引くとＨを通過します。
証明は三角形ＣＭＮと三角形ＧＦＨの相似かつ立方体より面ＡＢＣＤと面ＥＦＧＨの並行です。
そのときＭＮ//ＦＨかつ（三平方の定理より）ＭＦ＝ＮＨが成立
よって等脚台形になります。
（４）ＮからＥに立方体沿いに線を引くとＤＨかＡＤの上を通過します。ただし辺ＭＮと同一平面上なのでＡＤの通過は除外します。またＭからＥに立方体沿いに線を引いた時もＢＦ（前の理由でＡＢは除外）上を通過します。以上よりこの切り口はＭＮＥ以外にもＤＨ上・ＢＦ上に２つ角（頂点）を持つので五角形です。以下２点をＯ・Ｐとします。正五角形でないことはＯＮ≠ＯＥ・ＭＰ≠ＰＥより証明可能です。
（５）ＭＮに並行かつＬを通る直線を引きます。このときＬはＢＦの中点よりＤＨの中点と平行線が交差します。この点をＱとします。ＬからＰに立方体沿いに線を引くとＦＥ・ＥＨの中点を通過します。これを点Ｒ・点Ｓとします。つまりＬＭＮを通る面の切り口は六角形になります。この時ＭＮ＝ＬＭ＝ＲＬ＝ＳＲ＝ＱＳ＝ＮＱが三平方の定理より成立します。よってこの六角形は正六角形となります。

今更ですが説明下手ですみません。

回答No.2

TheTukkomi

Ｎｏ１です。
（６）ＢＤＣを底面とするとＢＤＣは面積６×６÷２＝１８
底面１８平方センチ・角Ｃが直角より高さは６センチ
１８×６÷１／３＝３６立方センチとなります。

追伸ですが
面積の単位は「平方」でなく「立方」です（模範解答のところです）。