放物線の証明

質問

高１です。

At1+St1=At2+Pt2
同様に、At2+Pt2=At3+Qt3も成り立ち、tが曲線上であればこれは成り立つ。
このとき、この曲線が放物線であることを証明せよ。

この問題を解いてください。
数学はIIの図形に入る手前までやりました。
お願いします。

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回答No.3

rnakamra · ベストアンサー

正直、今の高校の数学過程が分からないので適切な回答であるかは言い切れないのですが、自分なりの説明をします。

線分St1をt1の側に延長し、その半直線上にS't1=At1となる点S'をとる。
S'を通り直線SPに平行な直線Lをとる。
直線L上にt2,t3から下ろした垂線の足をP',Q'とします。

SS'=PP'=QQ' (1) が成り立ちます。
PP'=Pt2+P't2 と SS'=St1+S't1=St1+At1=Pt2+At2 から Pt2+P't2=Pt2+At2→P't2=At2
QQ'=Qt3+Q't3 と SS'=St1+S't1=St1+At1=Qt3+At3 から Qt3+Q't3=Qt3+At3→Q't3=At3

曲線t上の点Tにおいて常にAPの長さとTと直線Lとの距離が常に等しくなる。これは点Aを焦点,直線Lを準線とする放物線である。

回答No.2

WiredLogic

＞tが曲線上であればこれは成り立つ。

というのは、こういう意味ですか？

「曲線上の点から、(P,Q,Sがある)直線までの距離と、Aまでの距離は、点が曲線上のどこにあっても、等しい」

であれば、まだ習ってない(今の教科書だと、数学Ｃでやる)事柄ですが、
それが、図形的な「放物線の定義」なので、Q.E.D.(証明終了) とやっても
いいようなことです。

でないと、３点を通るだけでは、曲線を特定できないので、問題が不備
ということになります。

範囲としては、数学IIの図形と方程式(質問者さんがIIの図形とおっしゃって
いるのは、ここのこと？)の話で、そこでも、実際に教科書に出てくることは
ないと思いますが、内容的には、数Iと中学の範囲だけでも解ることなので、
どういうふうにやるか書いてみます。

計算が簡単になるので、(P,Q,Sを通る)直線を、x軸、
点Aの座標を、(-a,0) (a>0) として、
tの座標(点に振る文字は大文字にするのが、普通の慣わしですが)を、
(x,y)とおいてみます。

「曲線上の点から、(P,Q,Sがある)直線までの距離」の２乗
= 「点のy座標の絶対値」の２乗 = |y|^2 = y^2
「曲線上の点から、Aまでの距離」の２乗
= x^2 + (y+a)^2 (３平方の定理から)

y^2 = x^2 + (y+a)^2 = x^2 + y^2 + 2ay + a^2 だから
0 = x^2 + 2ay + a^2
-x^2 - a^2 = 2ay
-{1/(2a)}*x^2 - a/2 = y

と、放物線の式が出てきます。

回答No.1

noname#157574

t が美しい筆記体で書いてありますな。よろしい。