同値関係の証明の仕方教えてください。

質問

正則曲線α:[a,b]→E^3に対して次の同値関係を証明せよ。
（１）α(t)の速度は一定⇔加速度ベクトルα"(t)が位置ベクトルα(t)に垂直である。
（２）α(t)=p+tq⇔加速度ベクトルα"(t)が曲線α(t)に接している。
この問題です。
証明の仕方をぜひ教えてください。
お願いします。

回答No.1

stomachman

なんでやねん、です。

（１）α(t)の速度は一定⇔加速度ベクトルα"(t)が位置ベクトルα(t)に垂直である。

α(t)の速度が一定、という事は加速度はゼロですから、「α(t)の速度は一定⇒加速度ベクトルα"(t)が位置ベクトルα(t)に垂直である。」と言ってもいいでしょうね。逆は言えません。
たとえば「求心力によって円軌道上を一定の角速度で回ってる」という運動は、速さは一定でも速度は常に変化しています。

（２）α(t)=p+tq⇔加速度ベクトルα"(t)が曲線α(t)に接している。

p,qはtに依らない定数（ベクトル）なんでしょう。すると、α(t)=p+tqなら、これは等速直線運動ですから加速度はゼロ。だから「α(t)=p+tq⇒加速度ベクトルα"(t)が曲線α(t)に接している。」と言ってもいいでしょうね。
逆は、もちろん言えません。たとえば一様重力場で初速ゼロ、α(0)=pとして自由落下をやりますと、軌道は直線であって加速度ベクトルα"(t)（って重力加速度のベクトルですけど）が曲線α(t)に接している。 しかしながらα(t)=p+q(t^2)ですもんね。