数学II 式と図形の問題

質問

数学II　式と図形の問題

曲線(1):y=tx^2(t>0) と、曲線(2):y=[x^2-x]([]は絶対値)　とで囲まれる面積は？

(2)の概形はわかりますが、
あとはどのように場合分けして解いたらいいのでしょうか？

回答No.1

Mr_Holland · ベストアンサー

(A) 2曲線の交点を求めます。
　　ただし、tの値によって交点の場所や個数が変わりますので場合分けが必要です。

　　x^2-x≧0 (x≦0,1≦x)のとき　tx^2=x^2-x　∴x=0,1/(1-t)　（ただし、x=1/(1-t)となるのはt≠1のとき）
　　x^2-x＜0 (0＜x＜1)のとき　tx^2=-(x^2-x)　∴x=0,1/(1+t)

　このことから交点は次のように場合分けできます。

　(i) t>1 のとき　交点のx座標は　-1/(t-1), 0, 1/(1+t)
　(ii) t=1 のとき　交点のx座標は　0, 1/2
　(iii) 0<t<1 のとき　交点のx座標は　0, 1/(1+t), 1/(1-t)

(B) 積分によって面積を求めます。
　(i) t>1 のとき　交点のx座標は　-1/(t-1), 0
　　　∫[-1/(t-1)→0] {(x^2-x)-tx^2}dx + ∫[0→1/(1+t)] {-(x^2-x)-tx^2}dx = 1/6 {1/(1-t)^2 +1/(1+t)^2}

　(ii) t=1 のとき　交点のx座標は　0, 1/2
　　　∫[0→1/2] {-(x^2-x)-tx^2}dx =1/24

　(iii) 0<t<1 のとき　交点のx座標は　0, 1/(1+t), 1/(1-t)
　　　∫[0→1/(1+t)] {-(x^2-x)-tx^2}dx + ∫[1/(1+t)→1] {tx^2+(x^2-x)}dx + ∫[1→1/(1-t)] {tx^2-(x^2-x)}dx
　　=1/3 1/(1+t)^2 -1/3 +1/6 1/(1-t)^2

　計算間違いがあるかもしれませんので注意してください。