定積分の問題です。教えてください。

質問

定積分の問題ですが、よくわかりません。

どなたか解説していただけないでしょうか？

よろしくお願いします。

回答No.2

ferien · ベストアンサー

f(x)＝ｘ^2－ｋ＋２積分［０→ｘ］ｇ(t)ｄｔ　g(x)＝２ｘ＋積分［０→１］f(t)ｄｔ　ｋは定数
（１）
ａ＝積分［０→１］f(t)ｄｔ　より、g(x)＝２ｘ＋ａ
f(x)＝ｘ^2－ｋ＋２積分［０→ｘ］ｇ(t)ｄｔ　
　　＝ｘ^2－ｋ＋２積分［０→ｘ］（２ｔ＋ａ）ｄｔ　
　　＝ｘ^2－ｋ＋２（ｘ^2＋ａｘ）
　　＝３ｘ^2＋２ａｘ－ｋ

（２）ａ＝積分［０→１］f(t)ｄｔ　
　　　　＝積分［０→１］（３ｔ^2＋２ａｔ－ｋ）ｄｔ　
　　　　＝「ｔ^3＋ａｔ^2－ｋｔ］［０→１］
　　　　＝１＋ａ－ｋ
よって、０＝１－ｋ　より、ｋ＝１

（３）３ｘ^2＋２ａｘ－１＝２ｘ＋ａより、
　　　３ｘ^2＋２（ａ－１）ｘ－（ａ＋１）＝０
判別式Ｄ／４＝（ａ－１）^2＋３（ａ＋１）
　　　　　　＝ａ^2＋ａ＋４
　　　　　　＝（ａ＋１／２）^2＋１５／４＞０
よって、異なる２つの共有点をもつ

（４）
３ｘ^2＋２（ａ－１）ｘ－（ａ＋１）＝０について
２つの解をＡ，Ｂとすると、解と係数の関係より、
Ａ＋Ｂ＝(-2/3)（ａ－１）　ＡＢ＝(-1/3)（ａ＋１）……（ア）
２つの共有点の座標は、ｙ＝g(x)を通るから
Ｐ（Ａ，２Ａ＋ａ）Ｑ（Ｂ，２Ｂ＋ａ）とおくと
ＰＱ^2＝（Ｂ－Ａ）^2＋（２Ｂ－２Ａ）^2
　　　＝５（Ｂ－Ａ）^2
　　　＝５｛（Ａ＋Ｂ）^2－４ＡＢ｝（ア）を代入して、
　　　＝５｛(4/9)（ａ－１）^2－４（-1/3)（ａ＋１）｝
　　　＝５・(4/9)（ａ^2＋ａ＋４）　
ｈ（ａ）＝５・(4/9)（ａ^2＋ａ＋４）を平方完成（か微分）すると
　　　　＝５・(4/9)（ａ＋(1/2)）^2＋25/3
ａ＝－１／２のとき、ＰＱ^2の最小値は25/3だから、　最小値ＰＱ＝５ルート３／３
このとき、ｆ（ｘ）＝３ｘ^2－ｘ－１，ｇ（ｘ）＝２ｘ－（１／２）

でどうでしょうか？

お礼

とても詳しくご説明いただきありがとうございます。
理解することができました。
大感謝です。

回答No.1

mister_moonlight

2つの定積分の　上も下も定数だから(そのように、見えるんだが)、f(x)＝x＾2-k＋2a、g(x)＝2x+bと置ける。
それを条件式に代入すると、xの恒等式になるから　f(x)もg(x)も定まる。
後は、単なる計算問題。

お礼

なるほど。。。
そうやって解くんですね。

定積分苦手すぎて、大変ですｗ
ありがとうございました。