積分の応用問題なのですが

質問

積分の応用問題なのですが

y=acosh(x/a) (0≦x≦ｂ)

で表される曲線の周長の求め方がよく分かりません。
よろしければ詳しく解説していただけないでしょうか？

回答No.1

Mr_Holland · ベストアンサー

y=acosh(x/a) (0≦x≦ｂ)
∴dy/dx=sinh(x/a)

　曲線上の微小部分dsは次のように表せます。
　　ds=√(dx^2+dy^2) =dx√{1+(dy/dx)^2} =dx√{1+sinh^2(x/a)} =dx cosh(x/a)　（∵cosh(x/a)>0　）

　従って、求める曲線の周長は次のように求められます。
　∫ds
=∫[0→b]cosh(x/a) dx
=a sinh(b/a)