数II 関数の問題

質問

数学IIの問題です

xは1、3、-1ではない実数であるとして、関数
f(x)＝1/(x＋1)(xー1) ＋ 1/(xー1)(xー3)
を考える。
f(x)＝□/(x＋□)(xー□)
整理されるので、f(x)＜0を満たすxの値の範囲は
□□＜x＜1、1＜x＜□ 　　・・・(※)
である。
また、xがこの条件(※)を満たしながら変化するとき、
f(x)のとり得る値の範囲は
f(x)＜□□/□
となる。

1つの□に1文字入ります
よろしくお願いしますm(_ _)m

回答No.3

yyssaa

f(x)＝1/(x＋1)(xー1) ＋ 1/(xー1)(xー3)
＝(x-3+x+1)/(x+1)(x-1)(x-3)
＝2(x-1)/(x+1)(x-1)(x-3)=2/(x+1)(x-3)
よってf(x)＝□/(x＋□)(xー□)の□の中は
左から順に、２、１、３になります。

f(x)＜0を満たすxの値の範囲は、f(x)の分母
(x+1)(x-3)がマイナスになるｘの値の範囲です。
この分母は()と()の掛け算ですから、片方の
()の中がプラスで、もう片方の()の中がマイナス
であればいいことになります。
そこでまずx+1＞0でx-3＜0を考えると、x＞-1で
x＜3が得られ、合わせて-1＜x＜3　となります。
次に、x+1＜0でx-3＞0を考えると、x＜-1でx＞3
となり、この両方を満たすxはありません。
よってf(x)＜0を満たすxの値の範囲は
-1＜x＜3だけになりますが、xは1、3、-1では
ない実数ですから-1＜x＜3から1を除く必要が
あり、-1＜x＜1と1＜x＜3が求めるxの範囲と
なり、□□＜x＜1、1＜x＜□の□の中は左から
順に、－、１、３になります。
　xがこの範囲にあるときにf(x)の分母のとり
得る範囲を求めます。分母をy=(x+1)(x-3)として
y=(x+1)(x-3)=x^2-2x-3=(x-1)^2-3-1=(x-1)^2-4
から、このグラフはx=1でyが最小値-4となり、
x=-1とx=3でx軸と交差する下に凸な二次曲線に
なります。この曲線の形からxが-1＜x＜1と
1＜x＜3のときのyの値の範囲は-4＜y＜0となる
ので、1/y＜-1/4。f(x)=2/yですから1/y＜-1/4
の両辺に2を掛けてf(x)=2/y＜-2/4=-1/2となり、
f(x)＜□□/□の□の中は左から順に、ー、１、
２になります。

お礼

詳しい回答ありがとうございました
理解できました

回答No.2

151A48

最初の式は計算だけですから，(x-1)は約分されて　2/(x+1)(x-3)　であることは分かるとおもいます。
ｆ（ｘ）の符号は分母の２次式で決まりますから，-1<x<3.　ただし１はで定義域から除外されているので
-1<x<1, 1<x<3 と分離します。
y=(x+1)(x-1)　のグラフをかいて，この範囲での値の変化を見ると，-4<y<0　ですね。-4も０も値として取らないことに注意。後はこの範囲での2/yの変化をみれば，グラフ（双曲線）よりf(x)<-1/2

お礼

分かりやすい回答ありがとうございました

回答No.1

Kules

・最初の□
まず通分しましょうか。普通の数字の分数での通分と同じく、分数関数（って呼んでもいいのかな？）の通分も分母の最小公倍数を取ってやります。通常の分数の通分（1/9+1/6）をしたい場合、9=3×3で6=2×3なので、最小公倍数は2×3×3=18
で、分母を18にするために1/9と1/6の分母分子それぞれに数字をかけますよね？分数関数の場合前述の例でいうところの2とか3がx+1だったりx-1になるだけです。

・次の□
最初に求めたものは分子が数字（定数）なので、分母の符号によってのみ全体の符号が決まります。
（分子が正の定数の場合分母の符号と全体の符号は一致、分子が負の定数の場合分母の符号と全体の符号は反転）
ということは、（分母）>0または（分母）<0という2次不等式を計算すれば求まりそうですね。

・前の問題と同じく、分子が定数ということは分母の大小と全体の大小は対応します。
（分子が正の定数の場合、分母が最大なら全体は最小。分母が最小なら全体は最大。分子が負の定数の場合はその逆）
問題からチラ見出来る情報としては分母が2次関数っぽいんで、平方完成とかしてやればいいんじゃないでしょうか。

参考になれば幸いです。

お礼

素早い回答ありがとうございました