複素関数の問題なのですが

質問

複素関数の問題なのですが

閲覧ありがとうございます。
大学の試験範囲なのですが、教科書に途中式が書いておらず解けないのです。

8^(1/6)をすべて求めよ。
答えは±√2、±(±1＋√3i)/√2
となっています。

回答お待ちしてますm(_ _)m

回答No.3

info22_ · ベストアンサー

8の６乗根を全て求めるのであれば
x^6=8=8e^(i2nπ)　(nは任意の整数）と置けるので
x=8^(1/6)e^(i2nπ/6)
=((2^3)^(1/2))e^(i2nπ/6)
=(√2)e^i0,(√2)e^(±iπ/3),(√2)e^(±i2π/3),(√2)e^(iπ) (←同じものは除く)
=√2,(√2){cos(π/3)±isin(π/3)},(√2){cos(2π/3)±isin(2π/3)},-√2
=√2,(√2)(1±i√3)/2,(√2)(-1±i√3)/2,-√2
となり、整理すると答えの６個の値になります。

回答No.4

alice_44

A No.1 の方程式を
y = 2xx,
yyy = 1
と分解するのが、代数流かな。
A No.2, 3 は、解析流。
どちらが好きかは、嗜好による。

回答No.2

rnakamra

8=8*exp(2nπi) (n:整数)
です。

8^(1/6)={8*exp(2nπi) }^(1/6)=8^(1/6)*{exp(2nπi)}^(1/6)
後は自分で考えてくれ。

回答No.1

Tacosan

8^(1/6) は
x^6 = 8 の解
だよね.