複素関数の問題です

質問

z=(1+i√3)/2 とおく。

(1)z=e^(iθ) を満たすθ(0≦θ＜2π)を求めよ

|z|=√{(1/2)^2+(√3/2)^2}=1

極形式:z=cos(π/3)+isin(π/3)

arg z=θ=(π/3)+2nπ

(2)z^2009+z^2+1を求めよ

(1)は恐らく解けたのですが、(2)が解けません・・べき関数を使うのでしょうか?
答えがないので、どなたか添削と回答をよろしくお願いします

回答No.3

info22_ · ベストアンサー

(1)
>極形式:z=cos(π/3)+isin(π/3)
　=e^(iπ/3)=e^(iθ)
0≦θ＜2πとz=(1+i√3)/2から cosθ=1/2,sinθ=(√3)/2なので
　∴θ=π/3

したがって
>arg z=θ=(π/3)+2nπ
は間違いです。
(n≠0の場合0≦θ＜2πを満たさない）

(2)
z^2009+z^2+1
={e^(iπ/3)}^2009 +{e^(iπ/3)}^2+1
={e^(iπ/3)}^(334*6+5) +e^(i2π/3)+1
={e^(i2π*334)}*{e^(i5π/3)} +e^(i2π/3)+1
={e^(i5π/3)} +e^(i2π/3)+1
={e^(-iπ/3)} +e^(i2π/3)+1
=cos(π/3)-isin(π/3)+cos(2π/3)+isin(2π/3) +1
=1

お礼

ご丁寧な回答ありがとうございました !
もう一度復習しなおしてみます

回答No.2

mister_moonlight

こんなのは　高校数学で十分。

2z=(1+i√3)→　2z-1=i√3　→　両辺を2乗すると、z＾2-z＋1＝0　→　z＾3＝-1　‥‥(1)
z^2009+z^2+1＝(z＾3)＾669 *z＾2＋z＾2＋1＝-z＾2＋z＾2＋1＝1.

お礼

参考になりました
回答ありがとうございました !

回答No.1

eltaliese

(2)はド・モアブルの公式を使えば楽勝なのですが、習ってませんか？

お礼

回答ありがとうございました !
勉強し直してきます !