複素関数の問題です。

質問

f(z) = e^z - i
のf(z) = 0の解zをすべて求めよ。
********************************
という問題です。
解は
z = log i
であっているのでしょうか？

回答No.1

rnakamra · ベストアンサー

i=r*e^(iθ)　(r>0の実数、θ:実数)
とあらわすと、rとθはどのような値になるでしょうか。
それがわかれば解けるはずです。

答えはひとつとは限りません。

お礼

回答ありがとうございます＾＾
なるほど
複素平面で
yi軸とx軸をとったとすると、
オイラーの公式より
z = r*e^jφ
この問題において
y = 1, r = 1よりx = 0
なのでyi軸上で1となるθが解というわけですね。
ありがとうございました＾＾

回答No.2

arrysthmia

log を多価関数と考えれば、それであっているのですが…
「 log i 」が何者だか十分解っているならば、の話です。

log の正体が掴めていない人向けの解法としては、
z = x + yi　(x,y は実数) と置いてみましょう。

f(z) = f(x + yi)
= e^(x + yi) - i
= (e^x)(cos y) + i(e^x){ (sin y) - 1 }
となります。

こうすれば、
f(z) = 0　⇔　e^x = 1 ∧ cos y = 0 ∧ sin y = 1
であることが、すぐ判ります。
よって、
⇔　x = 0 ∧ y = (π/2) + 2nπ　(n は任意の整数)
⇔　z = (π/2)i + 2nπi　(n は任意の整数)
です。

n が特定の値をとる場合だけを log i と書くなら、
全ての解は、(log i) + 2nπi　(n は任意の整数)
とでも書くことになりますね。

補足

回答ありがとうございます＾＾
>>
f(z) = f(x + yi)
= e^(x + yi) - i
= (e^x)(cos y) + i(e^x){ (sin y) - 1 }
*****************************************
これは
f(z) = (e^x)(cos y) + i{(e^x)(sin y) -1}
ということでいいのでしょうか？
f(z) = 0となるためには
(e^x)(cos y) = 0,(e^x)(sin y)-1 = 0
e^x > 0なので
cos y = 0, (e^x)(sin y) = 1
となり
x = 0,y = (π/2) +2nπ
という導き方でいいのでしょうか？

>>
n が特定の値をとる場合だけを log i と書くなら、
全ての解は、(log i) + 2nπi　(n は任意の整数)
とでも書くことになりますね
********************************************
今度はz = (log i)+2nπi
となる理由がよく分かりません。。。
すいません。