複素関数の問題で・・・

質問

複素関数の教科書を独学中です。
答えがない問題があってわからないのでどうやって解くのか教えていただきたいです。

「z=a+ib,b≠0のとき、z/(1+z^2)が実数になるための条件はa^2+b^2=1であることを示せ」

です。
教えてください。
お願いします。

回答No.2

alice_44 · ベストアンサー

考えずに計算するだけ。
素朴に、z/(1+z^2) に z=a+ib を代入して、式を整理する。
質問文に書いてない重要な条件「a, b は実数」を利用して
与式の虚部を抽出し、それを = 0 と置く。これで完了。

お礼

回答ありがとうございました。
返事遅くてすみません。

実数条件ですね。
気付かなくてお恥ずかしい限りです・・・

回答No.3

alice_44

補遺：
z = a + ib のとき、
z/(1+z^2) = (a + ib) / { (1 + a^2 - b^2) + i(2ab)}
　　　　　= (a + ib){ (1 + a^2 - b^2) - i(2ab)} / { (1 + a^2 - b^2)^2 - (2ab)^2 }.
分子 = { a(1 + a^2 - b^2) - b(2ab) } + i{ b(1 + a^2 - b^2) - a(2ab) }.

b(1 + a^2 - b^2) - a(2ab) = 0 を整理すればよい。

お礼

回答ありがとうございます。
2度もありがとうございます。
解答までくわしくわざわざありがとうございました。

気づけば簡単な問題なのに気付かなかったです・・・
お恥ずかしい・・・

回答No.1

naniwacchi

こんばんわ。
高校数学の問題でも出てきそうな内容ですね。
証明問題なので、答えがないのでしょうが。

αが実数であれば、その共役な複素数も実数になりますね。
これが条件になります。
あとは、この条件を丁寧に計算していくだけです。

お礼

回答ありがとうございました。
返事遅くなってすみませんでした。

ありがとうございました。