三角関数の広義積分

質問

大学数学の質問です。
{cos((2π/λ)-ωt)}の二乗/tのマイナス無限大からプラス無限大までの積分の値がわかりません・・・
どうも1/2になるらしいのですが、導き方がわかりません。
心優しい方、どうか教えてください。

回答No.2

morimot703 · ベストアンサー

本当に{cos((2π/λ)-ωt)}の二乗ですか？
（cos{(2π/λ)-ωt)}の二乗ではないのですね）
で、ｔでの積分、つまりｄｔが付く　と考えていいですか？

cos((2π/λ)は、ｔに対して定数ですから、これをAと置くと、
f(ω）＝∫{-∞、+∞} (A^2-2Aωt+ω^2t^2)/ｔ　ｄｔ と置くと、
A^2/t は、奇関数ですから消えて、
f(ω）＝∫{-∞、+∞} (-2Aω+ω^2t) dt
ω^2t は、奇関数ですから消えて、
f(ω）＝∫{-∞、+∞} -2Aω dt
これは、定数の積分ですから、発散します！！

もし、cos{(2π/λ)-ωt)}の二乗であれば、
これだけ取り出すと、
cos(2π/λ)cos(ωt)+sin(2π/λ)sin(ωt) です。
cos((2π/λ)は、ｔに対して定数ですから、これをAと置き、
sin((2π/λ)は、ｔに対して定数ですから、これをBと置くと、
与式は、
∫{-∞、+∞} （Acos(ωt)+Bsin(ωt)）/t dt
Acos(ωt)/t は、奇関数ですから消えて、
∫{-∞、+∞} Bsin(ωt)/t dt
で、
∫{-∞、+∞} sin(t)/t dt は、１ですから、あとは自分でできるでしょ。
でも、言われる1/2 にはならないですね　（λやωが付く）

お礼

親切に回答してくださってありがとうございます。
うまくいきませんね？

これは解答の途中計算部分なので、解法自体が間違っている可能性も十分あるので、再度根本から考え直してみます。

自分だけで考えていたらドツボにはまっていたと思うので、貴重な回答、本当にありがとうございました。

回答No.1

Ae610

∫(－∞→∞){(cos(α－ωt))^2/t}dt (α=2π/λ)
(cos(α－ωt))^2が分子
tが分母
・・・の－∞→∞の積分
・・・という事か・・・？

・・・だとすると積分は不定になると思うが・・！？

お礼

回答ありがとうございます。

式が見にくくてすいません・・・。

うまくいきませんね？

これは解答の途中計算部分なので、解法自体が間違っている可能性も十分あるので、再度根本から考え直してみます。

自分だけで考えていたらドツボにはまっていたと思うので、貴重な回答、本当にありがとうございました。