定積分

質問

∫(1／2+x∧2)dx

この不定積分をマイナス無限からプラス無限まで積分するという、定積分の問題なんですが…

x=√2×tanΘと置換して解いていこうと考えたんですが、

マイナス無限とプラス無限に対応するΘの値がわかりません。

オススメの解き方があればそれもお願いします。

arctanで解いて貰っても構いません

回答No.1

sunflower-san · ベストアンサー

括弧がないのですが、置換の仕方から察するに問題は∫(1／(2+x∧2))dxでしょうか？

その置換で解けますよ。tanΘのグラフはご存じですか？Θ=-π/2～π/2のときx=-∞から+∞に単調に増大します。
つまり、x=-∞から+∞の積分はこの置換でΘ=-π/2～π/2までの積分になります。

お礼

その通りでした…へんに考えすぎました。

ありがとうごさいました。

回答No.2

yyssaa

＞∫(x=-∞→∞)1/(2+x^2)dx
=∫(x=-∞→∞)1/{2(1+(1/2)x^2)}dx
=(1/2)∫(x=-∞→∞)1/{1+(x/√2)^2}dx
x/√2=tと置換、dx=√2dt、被積分関数は偶関数だから
∫(x=-∞→∞)1/(2+x^2)dx
=√2∫(t=0→∞)/(1+t^2)dt
=√2(arctan∞-arctan0)
=√2(π/2-0)=π√2/2

お礼

ありがとうございます。