三角関数

質問

0≦θ<2πの時、不等式cos2θ-3cosθ+2≧0を解け。

私の回答は確実に違うと思いますが‥

cos2θ-3cosθ+2≧0
2cos2乗θ-1-3cosθ+2≧0
(2cosθ-1)(cosθ-1)≧0
cosθ≦1/2 cosθ≧1
0≦θ≦π/3 cosθ=1

となりました。

0≦θ≦π/2の時、関数y＝√3sinθcosθ+cos2乗θ
の最大値と最小値を求めよ。またその時のθの値を求めよ。

この2問、宜しくお願いします。

回答No.4

info22_ · ベストアンサー

No2です。

ANo.2の補足の質問の回答

>>=(√3/2)sin(2θ)+(1/2)(1+cos(2θ)
>>=sin(2θ+(π/6))
>がどう変形されたのか分からないのでよければ教えてください‥

[訂正]
(1/2)を落としてしまいましたので下の式に「+(1/2)」を付け加えておいて下さい。

(√3/2)sin(2θ)+(1/2)(1+cos(2θ))
=(√3/2)sin(2θ)+(1/2)cos(2θ)+(1/2)

(√3/2)=cos(π/6),(1/2)=sin(π/6)より

=sin(2θ)cos(π/6)+cos(2θ)sin(π/6)+(1/2)
=sin(2θ+(π/6))+(1/2)

したがって、「+(1/2)」を付け加えてANo2の訂正した式を書き直すと

[2]
>0≦θ≦π/2の時
>y=√3sinθcosθ+cos^2(θ)
> =(√3/2)sin(2θ)+(1/2)(1+cos(2θ)
=sin(2θ)cos(π/6)+cos(2θ)sin(π/6)+(1/2)
=sin(2θ+(π/6))+(1/2)
∴-1≦y-(1/2)≦1
π/6≦2θ+(π/6)≦7π/6 より
(単位円の図に2θ+(π/6)の範囲を描く。）
y-(1/2)が最大値1とる時(yの最大値は3/2)のθは
　2θ+(π/6)=π/2 ∴θ=π/6
y-(1/2)が最小値y=-1をとる時(yの最小値は-1/2)のθは
　2θ+(π/6)=7π/6 ∴θ=π/2

と修正願います。

お礼

よく分かりました(*^o^*)
ありがとうございます！

回答No.3

shintaro-2

>cosθ≦1/2 cosθ≧1
>0≦θ≦π/3 cosθ=1

θのみの式ではないから
これでは解いたことにならないでしょっ

>(2cosθ-1)(cosθ-1)≧0

これは正しいので、
それぞれのカッコ内が正または負
あるいはどちらかのカッコ内が０となる
具体的なθを求めて、元の不等式を解いたことになります。

回答No.2

info22_

[1]
>cosθ≦1/2 cosθ≧1
ここまで合ってる。

>0≦θ≦π/3 cosθ=1　...×
単位円を描けば、0≦θ<2πの時の答えを図から読み取るだけ。　
　(答え)π/3≦θ≦5π、θ=0

[2]
0≦θ≦π/2の時
y=√3sinθcosθ+cos^2(θ)
=(√3/2)sin(2θ)+(1/2)(1+cos(2θ)
=sin(2θ+(π/6))
∴-1≦y≦1
π/6≦2θ+(π/6)≦7π/6 より
(単位円の図に2θ+(π/6)の範囲を描く。）
最大値y=1をとる時のθは
　2θ+(π/6)=π/2 ∴θ=π/6
最小値y=-1をとる時のθは
　2θ+(π/6)=7π/6 ∴θ=π/2

補足

=(√3/2)sin(2θ)+(1/2)(1+cos(2θ)
=sin(2θ+(π/6))

がどう変形されたのか分からないのでよければ教えてください‥

コメントありがとうございます！

回答No.1

asuncion

＞cos2θ-3cosθ+2≧0
＞2cos2乗θ-1-3cosθ+2≧0
＞(2cosθ-1)(cosθ-1)≧0

ここまではいいとして…。

＞cosθ≦1/2 cosθ≧1

ab ≧ 0ですから、
1) a ≧ 0 かつ b ≧ 0
2) a ≦ 0 かつ b ≦ 0
の2つのケースを考える必要があるのではないかと思います。
また、

＞0≦θ≦π/3 cosθ=1

cosθのまま放っておくのはどうなんでしょうか。θの値もしくは取り得る範囲を
求める必要があるのではないでしょうか。

お礼

コメントありがとうございます！
場合分けが必要なんですね。

再びトライしてみようと思いましたがどうも上手く場合分けができません(´・_・`)
宜しければ続きの解説もお願い出来ないでしょうか(´・_・`)？