三角関数の定積分

質問

東京大学大学院システム創生専攻の過去の入試問題からです。

x*sin(x)/{1+(cos(x)^2)}を０～πまで定積分しなさい。

私が試みたことは
(1)　tan(x/2)=tとおく
(2)　分母を複素数で因数分解。その後部分分数分解
(3)　cos＾2を1-sin^2にしてsinx=tとおく
・・・

などです。しかし、いずれの方法でのうまくいきませんでした。わかった方はご教授ください

回答No.3

cyuuki

求める積分をIとします。
ｘ＝π-ｔと置換します。
すると
I＝[0～π]∫（π-ｔ）sinｔ/（1+cosｔ＾2）dtとなります。
積分を分けると
I＝[0～π]∫（π-ｔ）sinｔ/（1+cosｔ＾2）ｄｔ-Iとなり
2I＝[0～π]∫πsinｔ/（1+cosｔ＾2）ｄｔ
あとは
cosｔ＝ｐとおき
さらに
ｐ＝tanΘとおけば
2I＝[-π/4～π/4]∫ｄΘとなり
答えのπ＾２/4にたどりつきます。

回答No.2

rnakamra

F(x)自体は求めることは可能です。
∫sin(x)/{1+(cos(x))^2}dx=∫-1/(1+t^2)dt (t=cos(x)と置換)
=∫-dθ (t=tanθと置換)
=-θ+C (Cは積分定数)
=-arctan(cos(x))+C
となります。Cの項については#1でも述べているように部分積分の1項目と2項目で打ち消しあいますので最終的には消えます。

問題は-arctan(cos(x))の積分です。不定積分は初等関数では得られないと思います。
ですが心配は要りません。
この関数、t=x-π/2と変換すると奇関数となります。つまりx:0→π(t:-π/2→π/2)の積分で0になります。

回答No.1

rnakamra

(4)部分積分を行う。
xがかけられているのでこれを消さないと厄介です。
sin(x)/{1+(cos(x))^2}の原始関数をF(x)と置くと
∫[0→π]x*sin(x)/{1+(cos(x))^2}dx=[xF(x)]^π_0-∫[0→π]F(x)dx
です。(^π_0はπを代入したものから0を代入したものを引くという意味)

多分これで計算できると思います。F(x)についてくる積分乗数は前の項と後ろの項の分で相殺されるはずです。

補足

部分積分も１度考えましたが、原始関数F(x)が求められずあきらめて島しました。F(x)は求まりますか？