数列教えて下さい(;_;)

質問

Ｓ=1+2・3+3・3^2+……+n・3^n-1

答えの分母が4になってるのはどうしてでしょうか(;_;)
解き方教えて下さい(;_;)

回答No.3

stomachman

T(x) = x + (x^2) + … + (x^n) = Σ{j=1...n}(x^j)
とおくと，T(x)を項別にxで微分したものT'(x)は
　　T'(x) = Σ{j=1...n} j(x^j)' = Σ{j=1...n} (j(x^(j-1)) = 1 + 2x + 3(x^2) +…+ n(x^(n-1))
これをS(x)とおく．だから
　　S(x) = T'(x) = Σ{j=1...n} (j(x^(j-1)) = 1 + 2x + 3(x^2) +…+ n(x^(n-1))
すると，ご質問の級数は
　　S(3) = 1+2・3+3・3^2+……+n・3^n-1
である．

　一方，T(x)は等比級数なので簡単に総和が計算できて、
　　T(x) = ((x^(n+1)) - x) / (x-1)
である．そして，T(x)をxで微分したものがS(x)なんだから，この右辺を微分すればS(x)が得られる．右辺の分子をf(x)とおくと
　　T(x) =f(x)/(x-1)
という格好をしているので，微分すれば
　　S(x) = T'(x) = ((x-1)f'(x) - f(x)) / ((x-1)^2)
である．
　なので，S(3)では分母が4になる．

お礼

微分する方法もあるんですね(^^)ありがとうございました♪

回答No.2

ferien

Ｓ=1+2・3+3・3^2+……+n・3^n-1

答えの分母が4になってるのはどうしてでしょうか(;_;)

　Ｓ＝１＋２・３＋３・３^2＋……＋ｎ・３^（n-1)
３Ｓ＝　　　　３＋２・３^2＋……＋（ｎ－１）・３^(n-1)＋ｎ・３^n　

Ｓ－３Ｓ＝１＋３＋３^2＋……＋３^(n-1)＋ｎ・３^n
－２Ｓ＝１＋（３＋３^2＋……＋３^(n-1)）＋ｎ・３^n

（　）のなかは、初項３公比３の等比数列だから、
３＋３^2＋……＋３^(n-1)）
＝３・（３^(n-1)－１）／（３－１）
＝３^n－３／２

－２Ｓ＝１＋（３^n－３）／２＋ｎ・３^n
－２Ｓ＝（２＋３^n－３＋２ｎ・３^n）／２

両辺を－２で割るので、
Ｓ＝｛１－（２ｎ＋１）３^n｝／４

お礼

わかりやすかったです♪
ありがとうございました(>_<)

回答No.1

中村 拓男（@tknakamuri）

なぜ４といわれても困りますが、強いて言えば
等比数列を解く技法を２回使うからかな？

S-3S とすれば、先頭の n項 は等比数列になるので
後は機械的に計算できます。

S-3S = 1 + 3^2 + 3^2 + ... 3^(n-1) - n3^n

先頭 n 項は (3^n-1)/2 なので S={(2n-1)3^n+1}/4

3倍を引くという操作が2回あるので、合わせて 2 X 2 = ４が
出てきます。

お礼

わかりました☆
ありがとうございました!