数列教えてください！

質問

数列 1/2、4＋6/2、8＋10＋12/3、14＋16＋18＋20/4、・・・・・
について、
　（1）第ｎ項の分子の最初の数をｎで表しなさい。
　　　　　　　　　　　　（答え：ｎ＾2－ｎ＋2）
　　解説を読んでも、答えにいきつくまでの手順がよくわかりませんでした。
解答のほうよろしくおねがいします。

回答No.4

Hyper30 · ベストアンサー

そのままだと問題の意味が通じないのですが，
たぶん問題の数列は

2/1, (4+6)/2, (8+10+12)/3,...

という意味なのでしょう．

という前提で回答いたしますと，

2, 4, 8, 14, 22,...

という数列の一般項 (a_nとしましょう) が分かればいいわけですね．

隣りの項との差 a_{n+1} - a_n を見ると(b_n としましょう)

2, 4, 6, 8,...

という等差数列です．この一般項は簡単で

b_n = 2n　同じことですが　b_{n-1} = 2(n-1)

ですね．

あとはこれらの和を取ればいいのです．
なぜなら

b_1 + b_2 + ・・・+ b_{n-1}

= (a_2 - a_1) + (a_3 - a_2) +・・・+ (a_n - a_{n-1}) 　←b_n の決め方より

= a_n - a_1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　← +,- が隣同士打ち消しあうので

だからです．

実際，等差数列の和の公式より

b_1 + b_2 + ・・・+ b_{n-1}

= {2 + 2(n-1)} * (n-1) / 2

= n^2 - n

です．
a_n　はこれに　a_1 を足したものですから，答えが出ました．

数列(というより数学はなんでも)でよく分からないことがあったら，
考えるより先に，n=1,2,3,4,5,6
ぐらいを実際代入して実験する
ことが極めてきわめて有効です(解答を読むときも)．
たくさん実験するうちに，感覚が身についてきて，
(意識して)考えなくても分かるようになりますから．
鉄棒の逆上がりとか楽器の演奏とか外国語の習得と同じですね．

回答No.5

eatern27

2/1、(4＋6)/2、(8＋10＋12)/3、(14＋16＋18＋20)/4、・・・・・
の分子の最初の項を求めるのに分母と"+"の記号は必要ないのは分かりますか?
必要ないので分母と"+"を取り除いてみます。すると、

２｜４、６｜８、１０、１２｜１４、１６、１８、２０｜・・・・

と、なるんですが、第ｎ群(｜と｜で区切られてるのが1つの群です)の最初の項を求めれば、それが答えになります。2ずつ増えていると、面倒なので、それぞれの項を2で割ると

１｜２、３｜４、５、６｜７、８、９、１０｜・・・・

と、なります。これの第ｎ群の最初の項を２倍すればそれが答えになります。
第ｎ群の最初の項＝第ｎ-１群の最後の項＋１
という式が成り立つのはＯＫですか？
だから、第ｎ-１群の最後の項を求めてそれに１を足したものを２倍すれば答えになります。
ここで,第ｎ群の項数はｎ個であるのは分かりますか?
第１群の最後の項＝第１群の項数＝１
第２群の最後の項＝第１群の最後の項＋第２群の項数＝１＋２＝３
第３群の最後の項＝第２群の最後の項＋第３群の項数＝１＋２＋３＝６
というのを考えれば
第n－１群の最後の項＝第n－２群の最後の項＋第ｎ-１群の項数＝１+２+・・・+(nー１)＝Σ{k=1 to n-1] k
であるから、
第n-1群の最後の項=(n-1)n/2
となります。
だから、答えは(n-1)n/2に１を足して２をかけた
{(n-1)n/2+１}*２=ｎ^２-ｎ+２
となります。

回答No.3

mmky

参考まで
分子、分母という見方で、
n=1:(1)/2
n=2:(4)+6/2
n=3:(8)+10+12/3
n=4:(14)+16+18+20/4
n=5:(22)+24+26+28+30/5
n=6:(32)+34+36+38+40+42/6
・・・・
n=n:(n＾2-n+2){n＾2-n+4}{n＾2-n+6}・・・・{n＾2-n+2n}/n

分母の数に一つ前の分母の数を掛けて2を足したものが最初の数
n*(n-1)+2=(n＾2-n+2)
になりますね。

回答No.2

rousei

それぞれ項が1つ増えるごとに足す要素が１つずつ増えていますよね？

１／２　これは２／１　の間違いでは？？？
すると
２／１　　　　　　は　１つ
（４＋６）／２　　は　２つ
（８＋１０＋１２）は　３つ

すると、第ｎ項めは分子はｎ個の要素をたしていることになります。
ここで第１項目から第ｎ－１項目までの要素の総数は

１＋２＋３＋・・・＋（ｎ－１）＝1/2　×ｎ（ｎ－１）

となりますね？
そうすると第ｎ項目の最初の要素は、
1/2　×ｎ（ｎ－１）　　＋　１　番目の要素になるわけです。
そうすれば

要素は２倍ずつ増えていくのですからｋ番目の要素は２ｋとあらわせます。

なので
２｛1/2　×ｎ（ｎ－１）　＋　１｝＝ｎ（ｎ－１）＋２
＝n^2-n+2
となるわけです。

回答No.1

eatern27

補足をお願いします。
数列の第１項は
2/1
ではないですか?

それから、２～４項は
第２項が (4+6)/2
第３項が (8+10+12)/3
第４項が (14+16+18+20)/4
という意味ですか?

補足

おっしゃるとおりです。
問題の打ち間違いでした。すみません・・・。