数の計算の問題です。

質問

1～9の数字から3つを取り出してABCと並べ替えて3ケタの整数とする。
以下の条件を満たすとき、Bの数字として考えられるのはどれか。
ただし、同じ数字を２回使用することはできない。

条件1　ABCの数字を並べ替えたところ、最初の数字より729小さくなる
条件2　ABCの数字を並べ替えて8の倍数にすることができる

2
3
4
5
6
うちのどれかが答えとなります。

まず、考えると百の位が8.9のいずれかということはわかりました。
けれど、10の位と1の位を求めようとするとつまづきます。

自分で考えると10の位・1の位ともに7～2が該当しいくつもの組み合わせがでてきて、解を導けません。
どのように考えればよろしいでしょうか？

回答No.4

ferien · ベストアンサー

1～9の数字から3つを取り出してABCと並べ替えて3ケタの整数とする。
以下の条件を満たすとき、Bの数字として考えられるのはどれか。
ただし、同じ数字を２回使用することはできない。

条件1　ABCの数字を並べ替えたところ、最初の数字より729小さくなる
条件2　ABCの数字を並べ替えて8の倍数にすることができる

難しかったです。いろいろな方法で試してみましたが、答えは１つだけです。

ＡＢＣ＝９２１、よって、Ｂ＝２　条件１・条件２とも、並べ替えた数字は１９２　です。

条件1　ABCの数字を並べ替えたところ、最初の数字より729小さくなる　より、

（１）並べ替えた数字は、７２９より大きい。

（２）元の数字のＡが８か９なので、並べ替えた数字の１００の位は１か２で、８か９も必ず入っている。

条件2　ABCの数字を並べ替えて8の倍数にすることができる

条件２から数字を探しながら、条件１と照らし合わせました。

８の倍数は、８、１６、２４，３２，（４０）、４８，５６，６４，７２，（８０）、……となっていますが、特徴をまとめると、

（３）１の位が、８，６，４，２、……の繰り返しになっている。

　　　１０の位以上が、４で割り切れるときは、１の位は　８
　　　　　　　　　　　４で割って余り１　　　１の位は　６　
　　　　　　　　　　　４で割って余り２　　　１の位は　４
　　　　　　　　　　　４で割って余り３　　　１の位は　２　になっている。

３桁の数を考えるので、１０の位が８か９、１の位が８　の３通りに分けて考えました。

１）１０の位が９のとき　１９２→考えられる元の数字は、９１２か９２１
　　　　　　　　　　　　２９６→９２６か９６２
　　　　　　　　　　　　３９２→９２３か９３２

２）１０の位が８のとき　１８４→８１４か８４１
　　　　　　　　　　　　２８８は　×　　
　　　　　　　　　　　　３８４→８３４か８４３

３）１の位が８のとき　　１２８→８１２か８２１
　　　　　　　　　　　　１６８→８１６か８６１
　　　　　　　　　　　　２４８→８２４か８４２
　　　　　　　　　　　　３２８→８２３か８３２
　　　　　　　　　　　　３６８→８３６か８６３　　

最初は、１００の位は１～９まで調べていたのですが、元の数と７２９との差を考えたときあまり大きくない方がいいので、この程度にしました。

考えられる元の数字から７２９を引いて、ぴったり当てはまったのは、９２１のときだけでした。

よって、Ｂ＝２

回答No.7

hrsmmhr

すみません。
条件２について書いているところは何を言っているのかわかりませんね…
1-x-9を入れ替えて8の倍数にするためには、その数の少なくとも1,9は一の桁では駄目なので
一の桁がxで偶数でなくてはならないという必要条件を導けば
それだけでよかったと思います

回答No.6

hrsmmhr

9>=a>b>c>=1として少なくともabc-cbaが729を超えないと条件１はあり得ない
abc-cba=(a-c)*10^2+(c-a)=(a-c-1)*10^2+9*10+(10+c-a)>729{(10+c-a)を正に変形}より
a-c-1>=7であることが必要
よってa=9,c=1

条件２より
1*10^i+9*10^j+x*10^k=8l　(i,j,k=0,1,2)
10=8+2より
8^i+2*2*8^(i-1)+4+9*8^j+9*2*2*8^(j-1)+9*4+x*8^k+x*2*2*8^(k-1)+x*4=8m
{i,j,kが0のときはi-1,j-1,k-1は0として下さい}
よって(10+x)*4=8m
x=2,4,6,8

最後の桁が9なので11-(e)または1(e)-9が9 {(e)=2,4,6,8}
そうなるのは11-2＝9,18-9=9
よってBは2か1
B=2-6なら2です

回答No.5

ferien

訂正です。

>条件1　ABCの数字を並べ替えたところ、最初の数字より729小さくなる　より、
>
>（１）並べ替えた数字は、７２９より大きい。

は、元の数字は、７２９より大きい。　です。

回答No.3

noname#227064

ANo.1
最後の
> A = 8 or 9, B = 2, C = 1
> A = 8 or 9, B = 3, C = 2
> A = 8, B = 1 or 2, C = 7
> A = 8, B = 1 or 2, C = 8
を
「A = 8 or 9, B = 2, C = 1
A = 8 or 9, B = 3, C = 2
A = 8, B = 1 or 2, C = 7
A = 9, B = 1 or 2, C = 8」
に訂正します。
8が重複してました。

回答No.2

rurisyan

元の数字は

100A+10B+C

と表現することが出来る。

並べ替えた数字は

1)100A+B+10C
2)10A+100B+C
3)10A+B+100C
4)A+100B+10C
5)A+10B+100C

となる。

これに対して条件１を考えると

1)9B-9C=729 <=>B-C=81
2)90A-90B=729 <=>10A-10B=81
3)90A+9B-99C=729 <=>10A+B-11C=81
4)99A-90B-9C=729 <=>11A-10B-C=81
5)99A-99C=729 <=>11A-11C=81

このうち
1)はB>9となるため不適
2),5)はいずれかの数字が小数でないと成立しないので不適
つまり
3)または4)が条件に合致する

また作れる最小数字は123になるため 100A+10B+c>729+123=852
つまりA=8 or9

これを3),4)に当てはめると

3-8)80+B-11C=81 <=> B-11C=1
3-9)90+B-11C=81 <=> B-11C=-9
4-8)88-10B-C=81 <=> 10B+C=7
4-9)99-10B-C=81 <=> 10B+C=18

このうち
3-8)Bは12以上になるので不適
4-8)B<0となるため不適

B,Cは1～9までの整数なので
3-9)の場合
B=2 C=1となる

4-9)の場合
B=1 C=8となる

つまり
a)A=8 B=2 C=1
b)A=9 B=1 C=8
となる

このなかで条件２の８の倍数となる数字は

a)は128とつくれるが
b)は作れないので(918,198は割り切れないし残りの組み合わせは奇数)
a)が正解となる

よってB=2

回答No.1

noname#227064

条件１より
ABC-??A=729
または
ABC-??B=729
となるのでCとそれ以外の組み合わせは次のように限定されます。

B = 2, C = 1
B = 3, C = 2
B = 4, C = 3
B = 5, C = 4
B = 6, C = 5
B = 7, C = 6
Aor B = 8, C = 7
A or B = 9, C = 8

また、差が７２９となることから引く方の数の百の位は１か2でないといけないので、1か2を含むことのない
B = 4, C = 3
B = 5, C = 4
B = 6, C = 5
B = 7, C = 6
は不適。

残るは
B = 2, C = 1
B = 3, C = 2
A or B = 8, C = 7
A or B = 9, C = 8
の組み合わせですが、Aが8か9で1か2が入っていなければいけないことから
A = 8 or 9, B = 2, C = 1
A = 8 or 9, B = 3, C = 2
A = 8, B = 1 or 2, C = 7
A = 8, B = 1 or 2, C = 8
であることが分かります。

後はすべての組み合わせについて条件を満たしているか確認するだけです。