3重積分の問題

質問

∫∫∫(xy+yz+zx)dxdydz

A={(x,y,z); x>=0,y>=0,z>=0, x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2<=1(a,b,c>0)}

上記の問題です。
普通に極座標変換をやってみたものの、うまくいきませんでした。
何からの変形をやってから極座標変換をして解く必要があるかもしれません。

ご回答よろしくお願いいたします。

回答No.1

Ae610 · ベストアンサー

∫∫∫(xy+yz+zx)dxdydz (A：x^2/a^2 + y^2/b^2 + z^2/c^2≦1 , x,y,z≧0 ,a,b,c≧0)
x = a・r・sinθcosφ
y = b・r・sinθsinφ
z = c・r・cosφ
・・・と座標変換してみる。

すると積分領域は
0≦r≦1 , 0≦θ≦π/2 , 0≦φ≦π/2
・・・となる。

当方が計算してみたところ、計算間違えとかしてなければ・・・、
∫∫∫(xy+yz+zx)dxdydz
= ∫[0→1]∫[0→π/2]∫[0→π/2](abr^2sinφcosφsin^2θ + bcr^2sinφcosφsinθ + acr^2cos^2φsinθ)|∂(x,y,z)/∂(r,θ,φ)|drdθdφ
= (abcπ/120)・(4ab + 3bc + 3ac)

お礼

ご回答ありがとうございます！

回答No.2

Ae610

ANo.1です。
スミマセン
座標変換をミスしました。
x = a・r・sinθcosφ
y = b・r・sinθsinφ
z = c・r・cosθ
・・・に訂正させて頂きます。

∫∫∫[A](xy+yz+zx)dxdydz
= ∫[0→1]∫[0→π/2]∫[0→π/2](abr^2sinφcosφsin^2θ + bcr^2sinφcosθsinθ + acr^2cosφsinθcosθ)|∂(x,y,z)/∂(r,θ,φ)| drdθdφ
= ∫[0→1]∫[0→π/2]∫[0→π/2](abr^2sinφcosφsin^2θ + bcr^2sinφcosθsinθ + acr^2cosφsinθcosθ)abcr^2sinθdrdθdφ
= (abc/30)・(2ab + bc + 2ca)

計算間違えしてなければ・・・（ちと自信ないが！）