{2^(1/3)- 1}^(1/3)の2重根号

質問

{2^(1/3) - 1} ^ (1/3) = a^(1/3) + b^(1/3) + c^(1/3)
ただし、a、b、c∈Ｑ

このとき、a+b+cを求めよ？

どうやって解けばよいでしょうか？複数解あるそうです。

(x+y+z)^3=x^3+y^3+z^3+3xy(x+y)+3yz(y+z)+3zx(z+x)+6xyz

より、与式を3乗すると、

2^(1/3) - 1 = a + b + c + 3(ab)^(1/3) {a^(1/3) + b^(1/3)} + 3(bc)^(1/3) {b^(1/3) + c^(1/3)} + 3(ca)^(1/3) {c^(1/3) + a^(1/3)} + 6(abc)^(1/3)

3乗根の中身とそうでない部分が比較できるときと、比較できないときがあるとは思うのですが。

回答No.1

spring135

Qはなんですか。

お礼

{2^(1/3) - 1} ^ (1/3) = (1/9)^(1/3) + (-2/9)^(1/3) + (4/9)^(1/3)
= {3^(1/3) - 6^(1/3) + 12^(1/3)}/3
と二重根号が外せるそうです。一意性は不明ですが。
http://variee.hatenablog.com/entry/2012/11/11/074524
や
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%9A%E9%87%8D%E6%A0%B9%E5%8F%B7
が参考になりました。