不等式の問題

質問

数学の問題です。

x^2＋ｙ＾２＋ｚ＾２＋２a(xy+yz+zx)≧０が成立するための実数aの範囲を求めよ(ただし等式が成り立つのはx=y=z=0の時)

という問題が分かりません。

とりあえず
(x+y)^2+(y+z)^2+(z+y)^2+(2a-4)(xy+yz+zx)≧0
という形にできるなとは思ったのですが、そこからどうすればいいのかさっぱりです。

解法を教えていただけますでしょうか、よろしくお願い致します。

回答No.1

rnakamra · ベストアンサー

元の式の左辺をxについて整理します。

x^2+2a(y+z)x+y^2+z^2+2ayz≧0

これが全ての実数xで成り立つためには左辺=0をxの2次方程式と見たときの判定式≦0であればよい。

D/4=a^2*(y+z)^2-y^2-z^2-2ayz≦0

この真ん中の式をyについてまとめる。
y^2の係数<0,かつ判別式≦0の条件でさらに条件を絞り込む。
ただ、y^2の係数が"0"の場合も注意をする必要がある。

お礼

解の判別式を利用するのですね！

式を整理していったら答えがでました。ありがとうございました。

回答No.4

dame_dame_

失礼しました
計算違ってますね…
他の方がもっと簡単なやり方で示してるので
わざわざこのやり方でやる必要もないですが
x,y,zの順に整理していくと

(x-a(y+z))^2+(1-a^2)(y-a(1+a)/(1-a^2)z)^2
+(2a+1)(a-1)^2z^2

第二項がゼロ以上になるのは
1-a^2>=0
第三項がゼロ以上になるのは
2a+1>=0

いずれかの項が負になるときは負になる項だけを
残す(x,y,z)の取り方が存在するから
全部の項がゼロ以上になる必要があり
-1/2<=a<1

これとa=1,-1のときを別に考えればよい

お礼

各項ごとに調べる方法があるんですね。
わざわざ書きなおしまでしてくださいまして本当にありがとうございました。

回答No.3

mister_moonlight

正直にやるなら、＃1の方法でよい。
但し、＃2は完全な誤答。どこが誤答かというと

＞この形をみれば　1-a^2>0ならば0以上が成り立つことがわかる

こんなことは言えない。それは、必要条件に過ぎない。

実は、この問題は正直にやらなくても、答えはすぐわかる。次の、絶対不等式は知ってるだろう。

x＾2＋y＾2＋z＾2＋2(xy+yz+zx)＝(x+y+z)＾2≧0
x＾2＋y＾2＋z＾2≧xy+yz+zx　→　(x-y)＾2＋(y-z)＾2＋(z-x)＾2≧0
したがって、-1/2≦a≦1　とすぐわかるんだが。。。。。。ｗ

お礼

簡単すぎですねｗｗｗｗ

ありがとうございました。

回答No.2

dame_dame_

一つの文字について解くのが定石です
xについて整理して
x^2+2a(y+z)x+y^2+z^2+2ayz
=(x+a(y+z))^2+(1-a)(y^2+z^2)+2a(1-a)yz

二項目以降をyで整理すると結局
左辺=(x+a(y+z))^2+(1-a^2)(y+a/(1-a)*z)^2
+(1-a^2)(z^2+a^2/(1+a^2))
(aが1,-1でないとき）

この形をみれば
1-a^2>0ならば0以上が成り立つことがわかる
あとは別に1,-1のときを確認すればよい

お礼

ありがとうございます。