無限等比級数の和

質問

1回目　1
2回目　A
3回目　A*（B+C）
4回目　A^2*（B+C)＾2
5回目　A＾3*（B+C)＾3
・
・
・
というような場合の無限等比級数の和を計算したいのですけどもどうやったらいいかわかりません。パチンコ機の時短での引き戻し割合を計算するために必要で色々と考えてたぶん上記のような形になると思い作成しましたが、こっからどうやって「和」を出すのかよくわかりません。
よろしくお願いいたします。

回答No.3

age_momo · ベストアンサー

確変の期待値を

1/(1-確変突入率)

で表せるのも、その確率をpとすると

S=1*(1-p)+2p(1-p)+3p^2*(1-p)+4p^3*(1-p)・・・
pS=　　　　p(1-p)+2p^2(1-p)+3p^3*(1-p)+・・・
(1-p)S=(1-p)+p(1-p)+p^2(1-p)+p^3*(1-p)+・・・
=(1-p)/(1-p)=1

S=1/(1-p)

を使っていると思います。
こういうのは高校数学の高等部類に入ると思いますので
この辺を見てみらられればいいと思います。(種々の数列とその和参照)
その後も幾何分布という名前で出てきますが。。。それは機会があれば
調べてみてください。

http://www.nakamura-sanyo.ed.jp/sanyo/yanase/kousiki/old/

お礼

ご回答ありがとうございます。
いつも丁寧に書いてくださり感謝しております。
上記HP参考にさせていただきます。
なるべく自分で解けるようにがんばりますが、
また、どうしても行き詰ったときは、質問させていただきます。
ありがとうございました。

回答No.2

age_momo

いくつか分からない事がありますので補足お願いします。

『特賞期待値』はどういう意味でしょうか？確変や時短を
抜け出さずに当たり続ける期待回数でしょうか？

『時短での引き戻し時の期待値』同じく時短を抜け出さずに
当たり続ける期待回数でしょうか？

確変突入率0.51で確変突入したらこの機械はどうなるのでしょうか？
時短だけ見ると確変突入しないほど良いように見えますが。。。
(素朴な疑問です)

もし、時短中であたる連続回数を聞いていおられるならという前提で
若干、書いておきます。質問者さんの式は結構いいですが、間違ってます。
50回で当たらない確率は　(98.25/99.25)^50=0.602701372709084
100回で当たらない確率は(98.25/99.25)^100=0.363248944665414
それぞれP50,P100とします。

まず、それぞれの回数になる確率を出します。1回で終わる確率は次に当たらない
確率をかける必要があり、(ここが間違ってます。1回で終わるのは1*P50です)
1回目　P50
2回目　(1-P50)*(0.51*P50+0.49*P100)
3回目　(1-P50)*(0.51*P50+0.49*P100)*{0.51*(1-P50)+0.49*(1-P100)}
4回目　(1-P50)*(0.51*P50+0.49*P100)*{0.51*(1-P50)+0.49*(1-P100)}^2
これ以降は末尾の^2が3,4,5・・・と増えてきます。
A=(1-P50)*(0.51*P50+0.49*P100)=0.192836708771689
B={0.51*(1-P50)+0.49*(1-P100)}=0.514630317032315
を使って表すと

1回目　P50
2回目　A
3回目　A*B
4回目　A*B^2
5回目　A*B^3
・・・・
となります。足せばP50+A/(1-B)=1になります。(確率の和ですので1になるのが
当たり前です。逆にならないとどこか間違っている)

期待値を出すには

1*P50+2A+3AB+4AB^2+5AB^3・・・・

を計算します。
S=2A+3AB+4AB^2+5AB^3・・・・
とすると
B*S= 2AB+3AB^2+4AB^3・・・・
よって
S-B*S=(1-B)S=2A+AB+AB^2+AB^3・・・・=A+A/(1-B)=A(2-B)/(1-B)
S=A(2-B)/(1-B)^2
求める期待値は
S+P50=1.81854850278601
となります。(若干のつもりが。。。）

補足

貴重なお時間を使ってご回答していただきありがとうございます。

＞『特賞期待値』はどういう意味でしょうか？確変や時短を抜け出さずに当たり続ける期待回数でしょうか？

そのとおりです。
特賞1回引いたときにどれだけ連続して賞回数をひけるかということです。

＞『時短での引き戻し時の期待値』同じく時短を抜け出さずに当たり続ける期待回数でしょうか？

はい、そのとおりです。

＞確変突入率0.51で確変突入したらこの機械はどうなるのでしょうか？

玉を減らさずに次回の特賞が保証されます。

＞時短だけ見ると確変突入しないほど良いように見えますが。。。
(素朴な疑問です)

確率が甘い（1/99.25）ため１００回での時短での引き戻し割合のほうが多くなっています。しかし、確変突入率0.51の場合は、確変に突入した場合は、次回当たりが約束されます。

以上はご質問に対する返答です。

書いていただいた式を理解しようと追っかけていて返答が遅くなりました。（すいません、理解するのに時間がかかってしまって）

式の展開を見ていて、感心させられてばかりで「すごい」の一言です。

「等比級数の和」などをキーワードに色々検索して勉強しているつもりですが、なかなかうまくいきません。よろしければでいいんですが、なにかいい本だとかHPありましたらご紹介願います。
（教えて！gooのコンセプトに違反していたらすいません）

回答No.1

age_momo

ご質問の式、書き間違ってませんか？
そのままで計算するのなら、2回目を無視して後から足せばいいですけど。。。

1
A*(B+C)
A^2*(B+C)^2
A^3*(B+C)^3
・・・
・・・

は初項1,公比A(B+C)の無限級数です。
和は公式

初項/(1-公比)

に代入すればいいです。(ただし公比A(B+C)<1が前提。そうでなければ∞)
それに2番目のAを足せばいいですけど。。。
1/{1-A(B+C)} + A
となります。
なんかおかしい気がします。式の導出間違ってませんか？

補足

確率1/99.25
確変突入率0.51
時短回数50回。但し時短中に通常図柄（割合は0.49）で大当りした場合、時短回数が100回というパチンコ機です。
特賞期待値を出したいと思っています。
特賞期待値は、
1/((1－確変突入率）*(1-時短回数での引き戻し率))
ででると思っています。
時短での引き戻し時の期待値をだしたのですが、
私のお粗末な考えで
1回目　1
2回目　1-（98.25/99.25)^50=0.3973------A
3回目　A*（0.51*A+0.49*((1-98.25/99.25)^100)

0.51*A------------------------B
0.49*((1-98.25/99.25)^100)----C
4回目　A^2*(B+C)^2
だと思ったのですが・・・・
自信はまったくありません。
お願いいたします。