特殊相対論の行列の計算

質問

特殊相対論の行列の計算が分かりません。よろしくお願いします。
赤線→青線への式変形が分かりません。
なぜ、Σの下の i が k に変わるのか？
行列の積は、交換できないはずなのに、なぜ、Σavav　→　Σaavv へと交換することができるのか？
ということに頭を悩ませています。よろしく、お願いします。

数式が見にくいので、ブログに拡大した画像を載せてあります。
http://blueageha15.blog130.fc2.com/
[テキスト名] 講談社　基礎物理学シリーズ9　相対性理論 P63 P64

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回答No.2

yokkun831 · ベストアンサー

まず，Σは内積をとる和のみに用いられており，実はavの回転変換自体，和をとっていることにお気づきでしょうか？つまり与えられた内積の途中計算式は，i，j，kに対してすべて和をとる形になっています。したがって，積の順序は自由に変えられるのです。この辺の事情は，添え字つきの成分表示でなく行列積として図式的に表すとよくわかります。以下，[　]で行ベクトル，{　}で列ベクトル，(　)で回転行列を表します。また，^tは転置を意味します。

v'~・v'~ = [ v' ] { v' }
= { v' }^t { v' }
= { ( A ){ v } }^t ( A ){ v }
= { { v }^t ( A )^t } ( A ){ v }
= [ v ] ( A )^t ( A ) { v }
= [ v ] { v }

お礼

分かりやすい説明、ありがとう、ございます。　悩みが解消して爽快な気分です。これを励みに、これからも精進していきます。

回答No.1

eatern27

変形の流れを考えればわかるはずですが、赤線も青線もi,j,kに関する和ですので、iがkに変わったりはしていません。(どういう意図で画像にあるような書き方をしたのかは分かりません)

v^jやa^i_jはベクトルや行列ではなく実数(ベクトルや行列の成分)ですので、自由に順番を入れ替える事ができます。

お礼

すばやい回答、ありがとう、ございます。　よく理解できました。　これからも頑張って精進していきます。