γ行列のディラック方程式の導出方法

質問

こんにちは、

ディラック方程式の導出は、まず
エネルギーE、運動量ｐ１、ｐ２、ｐ３、質量ｍ、光速度ｃとすると
E^2-c(p1^2+p2^2+p3^2)=m^2c^4
となるので、並び替え
E^2＝c(p1^2+p2^2+p3^2)-m^2c^4
とする。更に
E/c=√（p1^2+p2^2+p3^2+-m^2c^2）
＝α１p1+α2p2+α3p3+βｍｃ
として、
α１、α２、α３、β
を求めて、一旦、α１、α２、α３、βを使用したディラック方程式を求めます。
更に、このディラック方程式に左からβ/ i を掛けて
γ行列を定義して、相対論的な自由場のディラック方程式
γi pi Ψ＝ｍｃΨ
を導出します。

ここで質問ですが、
E^2-c(p1^2+p2^2+p3^2)=m^2c^4
の式から、α１、α２、α３、βを使用したディラック方程式を導出せずに、
直接、γ行列を定義して、相対論的な自由場のディラック方程式
γi pi Ψ＝ｍｃΨ
を導出することは可能でしょうか？

回答No.2

connykelly · ベストアンサー

#1のconnykellyです。
補足に書かれた講義ノートは知りませんでした。確かにスマートな導き方ですね。教えていただいてありがとうございます。

>これと同様のものは無いでしょうか？

残念ながら見かけないです。上の講義ノートを参考にご自分で工夫されるのも一考かも知れませんね。

お礼

お返事有難う御座います。

了解しました。

回答No.1

connykelly

ご質問の意図がいまいちよく掴めませんが、以下ご参考までに。
クライン-ゴルドン方程式は量子力学の範囲で考えると確率密度が波動関数の二乗にならず、この結果「常に正でなければならない」という枠からはずれてしまうことになりました。つまり負の確率密度というものが出てきてしまいます。この原因はE^2があるためで、これをEとした場合にどうなるかを追求したのがディラック方程式になります。ということでご質問の

>直接、γ行列を定義して、相対論的な自由場のディラック方程式
γi pi Ψ＝ｍｃΨ
を導出することは可能でしょうか？

と言うことですが、結局E^2→Eというプロセスは踏まざるを得ないのではないでしょうか。C-Geqとコンパチの制約を課すと結局α１、α２、α３、βを使用した導出になると思うのですが。。。

補足

お返事有難う御座います。

下記ＨＰの式（２．３）は、α、βを求めないで、直接γを求めてdirac方程式を導出しております。

これと同様のものは無いでしょうか？

http://www.hepl.phys.nara-wu.ac.jp/~hayashii/kyoiku/Kougi/Master/master_high.pdf#search='ディラック方程式'