そんな凄いなら,なぜ区体論は殆ど普及していないの?

質問

区体論という集合論に取って代わるような理論が発明されて,核心部分については完全性と無矛盾性が証明済みで,いい事ずくめの基礎理論のようにあちこちのプログにかかれてますが,
区体論というタイトルの書籍は和書・洋書とも存在しないようですし,articleとしてもそれに関する論文も見当たりません。
wikipediaにも載ってはおらず未だ,個人のブログのみです。

この理論は日本人が発明した理論なのでしょうか?

中には区体論はインチキらしいとの見解のブログも見かけます。

Cantor以来の大発明ならもっとあちこちでpublicalyに(privatelyではなく)議論されていい筈なのに。。。。

どうして,区体論は殆ど注目されていないのでしょうか?

公理的集合論の先生も区体論って言葉すら知らなかったし。。

どなたかお詳しい方お教え下さい。

P.S.
区体論というのは本当にいい事ずくめなのでしょうか?

回答No.4

qt-hunny · ベストアンサー

著者の言葉に従えば、区体論は集合論に比べて、何か特別なことができるわけではありません。「強力な理論」「便利な理論」を求めているのであれば、それは見当違いです。
　著者が求めているのは、「何かができること」ではなくて、「間違いをしないこと」です。「実り豊かさ」ではなくて、「確実さ」を求めています。それが、完全性や無矛盾性の追求です。
　区体論の特徴は、「濃度の公理」を別体系にしている（分離している）ことです。そのことによって、「濃度の公理を含まない範囲で、無矛盾性や完全性がわかる」ということです。
　究極の目的は「数学という体系全体の完全性や無矛盾性」ですが、それはゲーデルの不完全性定理によって不可能が判明しています。そこで、ゲーデルの不完全性定理が前提としている「自然数論を含む」という条件をはずすことで、「自然数論を含まない範囲での無矛盾性や完全性がわかる」というふうにしています。結局、「制限された範囲内で数学の無矛盾性や完全性がわかる」というのが、区体論の成果です。
　冒頭にも述べたように、何か新しい事実が判明するわけではありません。「数学というものへの信頼性を高める」ということだけが目的となっています。集合論に基づく限りは、数学は無矛盾性や完全性がわかりません。せいぜい有限の範囲内だけです。区体論は、その制限（有限の範囲という条件）をはずして、もうちょっと広いところまで、無矛盾性や完全性がわかります。
　こういうことができるのも「濃度の公理」を体系から分離しているからです。ここに区体論の特徴があります。
　ただ、冒頭にも述べたように、何か新しい成果が出るわけではありません。それが、あまり人気のない理由でしょう。

お礼

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回答No.5

qt-hunny

補足します。
　「集合論は有限の範囲内では、無矛盾性や完全性がわかる」
　という表現は、不正確な表現です。公理的集合論は、体系内に無限を含むので、有限の体系をつくることはできません。したがって「有限の体系で無矛盾性を証明する」ということはできません。（無意味です。）
　そもそも集合論どころか、ただの自然数論でさえ、無限を含むので、「体系の無矛盾性や完全性は証明不可能」なのです。（ゲーデルの不完全性定理）
　集合論でできるのは、「体系の無矛盾性を証明すること」ではなくて、「体系内に無矛盾な有限空間を作ること」だけです。しかし、そんなことをいくらやっても、「（無限を含む）体系の無矛盾性を証明する」ことにはなりません。
　一方、区体論は、体系から自然数論をはずすことによって、「体系全体の無矛盾性を証明すること」が可能になっています。異なるアプローチを取っているわけです。

　なお、証明は簡単です。アトムが一つだけあるモデルを取って、公理系を満たすことを示せばいい。

お礼

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回答No.3

alice_44

きちんと発表されていないから、評価のしようがない
…というところだと思います。
南堂氏のWebサイトが、唯一発表の場なのだけれど、
そこに置かれた英語版の論文(らしきもの)も、
全く論文の体をなしておらず、
何を言っているのかサッパリ判らない。
読んで何となく感じることは、どうやら
素朴集合論と同等っぽい雰囲気だな ということくらい。
おそらく、素朴集合論の上で区体論を記述することも、
区体論の上で素朴集合論を記述することも、可能なんだろうが、
肝心の区体論自体がきちんと定義されていないから、
それを検証しようにも、誰にもやりようがないのです。

お礼

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回答No.2

noname#221368

自分なりに平等と思える意見を述べると、区体論は現行の公理的集合論と同等以上のものではない、というのが印象です。

　南堂氏の視点は確かに面白いですが、そのような考えを持ちこまなくても、現行の公理的集合論で同等な事が出来てしまう。

　なので余り注目されないのだと思います。

　「核心部分については完全性と無矛盾性が証明済み」の話ですが、自分はそこを精査していません。それで予想を述べると、次のようになります。

　　1)完全性と無矛盾性が証明を証明できたのは、有限を相手にした場合ではなかろうか？。
　　※現行の集合論でも有限の範囲でなら、完全性と無矛盾性を証明できます。

　　2)完全性と無矛盾性の意味を、ふつうとは少し違った定義にしているのではないか？。

　とは言え、南堂氏の論理の解説などを読むと、けっこう勉強になったりするのも、また事実ではあります(^^)。真面目にやってるのは、良くわかりますよ。

　ただ、限りなく真実に近い「的外れ」という気はする(^^；)。それだけに、ふつうの数学屋（アマチュアも含めます）とは、どうにも話がかみ合わない。同じ言葉を使っているのに、両者は別物を観ている。別の事を話していると思えます。

お礼

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回答No.1

noname#195146

南堂久史さんでしょ？　知ってる人は知ってます（結構、多い筈）。あまりに馬鹿馬鹿しいので、誰も取り合わないのです。

　数学は物証がないですから、「それっておかしいよ」と言っても、彼の御仁はあれこれ言い募るだけなので、もう誰も触れないのです。面倒臭いので。

お礼

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