電磁場中のディラック方程式

質問

すいません。もう一問質問させてください。
自由場のディラック方程式に電磁場を入れてやるとき
p(^μ)→p(^μ)-eA(^μ)
としますよね?
何でこうしていいかわかりません。
非相対論的理論のときと同じようにラグランジュアンから出発しようとしたがディラックのラグランジュアンがわかりません。

回答No.1

grothendieck · ベストアンサー

現在ではゲージ不変性が基本原理と考えられています。電磁気学はU(1)不変性に基づいています。ゲージ不変にするためには
p(^μ)→p(^μ)-eA(^μ)
としなければならないのです。ラグランジアンは
　L= ψ†γ0(i∂μγμ - m)ψ - ejμAμ -(1/4)FμνFμν
のような形になります。ラグランジアンの変分をとるとき、ψとψ†は共役であるにもかかわらず独立なものとして変分をとります。なぜなのか考えてみて下さい。

補足

回答ありがとうございます。
難しい課題が出されたみたいです。できる限り考えてみます。
その前に
>ゲージ不変にするためには
>p(^μ)→p(^μ)-eA(^μ)
>としなければならないのです。
とありますが、証明は難しいのでしょうか？よろしかったら参考文献を紹介してもらえますか？できれば日本語の本で。
それと、ラグランジアンの求め方もわかりません。こちらも、ヒントでいいので頂けたら嬉しいです。

回答No.2

KENZOU

横合いからなんなのですが、老婆心ながらアドバイスまで

＞自由場のディラック方程式に電磁場を入れてやるとき
p(^μ)→p(^μ)-eA(^μ)
としますよね?
何でこうしていいかわかりません。

量子力学といっても解析力学のアナロジーに立脚していることはよくご存知ですね。古典力学で荷電粒子の電磁相互作用の方程式は
　mx"＝e(E＋ｖ×H）　(c=1)
で書かれます（右辺はいわゆるローレンツ力）。これを正準方程式から導くにはハミルトニアンとして
　H＝(1/2m)(p－eA)^2＋eA0
とすればいいわけです（なぜそんなHamiltonianとなるかについては太田浩一著「マクスウェル理論の基礎」(東京大学出版会)のラグランジュ形式の電磁場の項参照）。これは電磁相互作用のない場合のハミルトニアンを　H→H－eA0，p→p－eA　と置きかえればいいことを意味します。この相互作用をminimalな電磁相互作用と呼んでいますが、minimalな電磁相互作用は荷電粒子がローレンツ力によって運動することを保証するものとされています。非相対論的量子力学のハミルトニアンにおいてもそのような置き換えをしますね。この置き換えを共変形式で書くとスカラーポテンシャルA0、ベクトルポテンシャルAとして
　∂μ→∂μ＋ieAμ，　Aμ＝（A0,A）
ディラック方程式の場合でも電磁相互作用はこの置き換えが採用されます。もっとも、この置き換えについての物理的・数学的な妥当性についてはgrothendieckさんの言われるゲージ不変性の要求に基づくということになると思います。

＞ディラックのラグランジュアンがわかりません。
わざわざLagrangianを持ち出すのは場の理論あたりからだと思いますが、この辺の議論は参考URLを覗いてください。
場の理論(1)→講義ノート４

それではがんばって勉強を進めてください。

参考URL：

http://kabuto.phys.sci.osaka-u.ac.jp/higashij/

お礼

いつもいつもわかりやすい回答ありがとうございます。
解析力学の方は一応理解しました。

どうやら、数学的に示すのはまだ早いようですね。とりあえず、これは置いといて進めることにします。

問題解決していないが、一回締め切りますね。