2次関数の問題

質問

数学Iのほうの問題でかなり考えたのですがどうしても分からない問題があったので、質問させていただきました。
問題は、『曲線：y=-x^2+ 3x +4(x≧0)とx軸、y軸の交点をそれぞれ、A、Bとする。C上の点Pがx＞0かつy>0の範囲を動くとき、△PABの面積の最大値と、そのときの点Pの座標を求めよ。』という問題なのですが、とりあえず点Pの座標を(a,b)とおき、台形の面積を出してそこから余分な三角形の面積をひくというやり方でやっていたのですがどうも上手くいかなくて・・・。台形の面積から余分のものをひいて、文字の式が出てきていろいろやってみたのですが答えには辿りつけませんでした。
なお、それには略解しか載っておらず、答えは点Pのとき(2,6)最大値8だそうで非常に困っています。。
もしよろしければどなたか解き方などアドバイスをいただけないでしょうか？お願い致します。

回答No.3

ONEONE · ベストアンサー

（１）
△APBが最大になるときは、ABと傾きの等しい直線がCと接するときです。
（このときABからの高さが最大になるから）
ABの傾きは－1なので
y=-x+b　(bはy切片)
とおいて
Cと連立して重解を持つ条件つまり（判別式）＝０とすれば
ｂが求まり、接点が求まります。

（２）
原点Oとします
△OAPと△ABPに分けて考えます。
△APBが最大⇔△OAP＋△ABPが最大
となります。
f(x)=-x^2+ 3x +4とおくと
Pの座標を(p,f(p))
△OAP=４＊f(p)÷2
△OBP=４＊p÷2
△OAP+△OBP＝2（p＋f(p)）
pについて最大値を求めればOK

お礼

やっと謎が解けました。わざわざどうもです。
ご回答ありがとうございました。

回答No.6

ma-ru1207

＃２の者です。
ごめんなさい。
私の答えでは、四角形ＰＡ０Ｂの最大値になっていました。
でも、△ＡＢ０は固定されているので、答えだけ出すのならこれでもいいのかな？？？
x^3は消去されます。

回答No.5

kony0

模範的回答は、#3さんが(1)で言っている、ABに平行な線を引き、それを接線とすることですが・・・

あえて、座標で計算ゴリゴリで進めるなら、こんな別解も。

Pを通るy軸に平行な線を引き、ABとの交点をQとすると、△PAB=(1/2)×OB×PQとなります。（座標平面で△の面積を求めるとき、けっこう便利な考え方です）

まず、OB=4。
P(t,-t^2+3t+4)とおくと、Q(t,-t+4)
PQ=(-t^2+3t+4)-(-t+4)=-t^2+4t
だから、（途中略で）t=2のときPQ最大⇒△PAB最大がいえますね。

お礼

こういうやり方もあったんですね。かなり参考にさせていただきました。ご回答ありがとうございました。

回答No.4

ONEONE

（２）に訂正

原点Oとします
△OAPと△ＯＢＰに分けて考えます。
△APBが最大⇔△OAP＋△ＯＢＰが最大
となります。
f(x)=-x^2+ 3x +4とおき
Pの座標を(p,f(p))とおくと
△OAP=４＊f(p)÷2
△OBP=４＊p÷2
∴△OAP+△OBP＝2（p＋f(p)）
pについて最大値を求めればOK

回答No.2

ma-ru1207

“Ｃ上の点”というのは、曲線：y=-x^2+ 3x +4・・・(1) 上の点ですよね。
点Ｐを(x,-x^2+ 3x +4)とおき、この点の左側にできる台形の面積と、右側の三角形の面積を足す。
1/2{4+(x^2+3x4)}+1/2(4-x)(-x^2+3x+4)・・・(2)
この最大値をとると、x=2が出ます。
あとは、(1)式に代入してyが求まります。
これらを、(2)式に代入して面積が出ます。

こんなもんでどうでしょう。
久しぶりに数学を解いて、おもしろかったです。
がんばって下さいね。

p.s.　図を書くのがポイントです。

お礼

図があるととても分かりやすかったです。
ご回答ありがとうございました。

回答No.1

Magician

まず、Ａの座標は、曲線の式にｙ＝０を代入して二次方程式を解くと、ｘ＝－１、ｘ＝４
　ｘ≧０だから、ｘ＝４
Ａ（４，０）
　Ｂの座標は、曲線の式にｘ＝０を代入して、ｙ＝４
Ｂ（０，４）

　△ＰＡＢの面積が最大になるには、三角形の頂点となるＰと直線ＡＢとの距離が最大となる（つまり、三角形の高さが最大になるときに面積が最大）事が必要です。

　ここで、
　直線ＡＢ（ｘ＋ｙ－４＝０←計算して求めてください・省略しました）と、
Ｐ（ｐ,－ｐ＾２＋３ｐ＋４）
　との距離が最大になればいいわけです。

　Ｐから直線ＡＢに引いた垂線と直線ＡＢとの交点をＨとするとき、ＰＨの距離は点と線の距離の公式から

ＰＨ＝｜ｐ＋（－ｐ＾２＋３ｐ＋４）－４｜／ルート２

　ＰＨの値が最大になるには、分母が最大になればよく・・・
　｜－ｐ＾２＋４ｐ｜が最大になる場合を考えてみると・・・

　あとは自分で考えてみましょう。
　ｐが分かれば、Ｐの座標は（ｐ,－ｐ＾２＋３ｐ＋４）なので代入すれば出てきます。
　また、ｐの値がわかれば、ＰＨの長さ（三角形の高さ）も分かるので、解けるでしょう。

　でも、そもそもなぜ、台形？
　点と線の距離の公式をまだ習っていないので使ってはだめなのでしょうか？
　もしそうだったら、すみません。

お礼

ご回答ありがとうございました。
なんとか解く事ができました。