二次関数の問題 難問です

質問

放物線　y=-1/2x＾2-x+3/2 ・・・(1)　がx軸と２点Ａ（-3.0）、Ｂ（1.0）で交わり、ｙ軸と点Ｃ(0.3/2)で交わる。
放物線(1)のＡＣ上に点Ｄをとり、三角形ＡＣＤをつくる。
このとき三角形ＡＣＤの面積の最大値とそのときの点Ｄの座標をもとめよ。

この問題で求めないといけないのはＤからＡＣに引いた垂線の長さですよね？で三平方の定理を使うのかと思ったのですがどのように適用すればいいのかわかりません
よろしくおねがいいたします

回答No.2

R-gray · ベストアンサー

高校生ですよね？
点と直線の距離の公式は既知のものとします。
http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/urawaza/distance.htm

とりあえずＤのｘ座標をtと置けば、
D(t,-1/2t^2-t+3/2)とできますね。（ただし -3<t<0)
一方直線AC:y=1/2x+3/2

これらに点と直線の距離の公式を適用すれば
ＤからＡＣに下ろす垂線の長さLは、整理して
L=|t^2+3t|/√5
となるはずです。あとは分子の|t^2+3t|が-3<t<0のもとでいつ最大になるか
をかんがえればよいでしょう。

お礼

高校１年生です。
そんな公式が存在したんですね・・・まったく知りませんでした
青チャートなどの参考書をいくら見てもそんな公式まったくのってませんでしたがなぜみなさんはこんな公式をご存知なのでしょうか？
すごく感動しました

回答No.6

Quattro99

あまり美しくはないですが、せっかく思いついたので書いてみます。

点Dを(t,-1/2t^2-t+3/2)とおく（-3＜t＜0）。
直線ADはy=a(x+3)とおける。これが(t,-1/2t^2-t+3/2)を通るので、代入してaについて解く（-1/2t^2-t+3/2はt+3でくくれることがわかっていて、t+3≠0なので割と簡単に求まる）。これで、直線ADのy切片をtで表すことが出来る(直線ADのy軸との交点をEとする）ので、△ACEの面積もtで表すことが出来る。
△ACDの面積は△ACEの面積の(t+3)/3であるので（ADやAEを底辺と考える）、△ACDの面積をtで表すことが出来る。
あとは、-3＜t＜0での増減表から面積が最大となる時のtとその時の面積を求める。

回答No.5

rtz

線分ACを三角形ACDの底辺とみれば、
高さはDからACに降ろした垂線の長さだが、
ACに平行な直線とACの距離も高さであるから、
このACに平行な直線がACから一番離れたとき、
即ちACに平行な直線が放物線の接線となる場合に高さが最大になる。

直線ACはy＝(x+3)/2と表されるから、ACに平行な直線の傾きは1/2。
放物線についてdy/dx＝-x-1より接線の傾きが1/2になるような接点のx座標が出て、自動的にy座標も出て、それが点Dの座標。

座標さえ出れば幾らでも面積の出し方はある。

回答No.4

Ce_faci

問題から高校生ですか？
どうしても垂線でやりたいのでしたら
直線ｙ＝aｘ＋ｂと直交する直線ｙ＝ｃｘ＋ｄで、ａとｃの関係を学びましたか？
ａ＝－１/ｃ
点Ｄは２次関数上ですからｘ＝ｔとでもして点Ｄをｔで表しましょう。
あとは、垂線の直線に座標を代入すればなんとかｔで三角形の面積も導けるのではないかな。

しかし、３座標から直接面積を導く公式もあるでしょう。こっちの方が早い。

または、三点を通るように、かつ、軸に平行になるよう四角形（長方形か台形）を描いて、回りの三角形から引いてもいいでしょう。

回答No.3

tekcycle

高校生になら難問じゃないですよ。普通は方程式か３点の座標のどちらかは出てません。
私もＡＢＣＤで考えますね。無骨なやり方でしょう。
Ｄからｘ軸に垂線を下ろしたらどうでしょう？
ｘ軸ｙ軸という直交座標があるのだから、それを利用すると考え易いと思います。(グラフの積分はそんな見方をするでしょうから、それに慣れているからかも知れません)

もっとエレガントなのは(仰るような解き方だと)、点と直線の距離を使うことでしょうね。
ＡＣの長さはすぐに出ますから。

まぁよくある問題だと思いますので、解答解説のしっかりした教材で類題を探してみるのも手でしょう。

補足

ご回答ありがとうございます
長崎の高１県一斉の過去問題で回答がないんですがＡＢＣＤで考えるやり方にチャレンジしてみようかとおもいます
ありがとうございました

回答No.1

redowl

△ACD で面積を考える・・・・・解けなくはないのですが・・・

△AOC もくっつけて、四角形OADC の面積が最大になる時　　で考えましょう。

補足

そういう考え方もできるんですね！？
考えて見ます
ありがとうございました