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連続関数, 解説もお願いします。

関数f(x)に対しf(a)=aを満たす点x=aをf(x)の不動点という。 f(x)が閉区間[0,1]上の連続関数であり,その値域が閉区間[0,1]に含まれるとき,f(x)の不動点x=aが区間[0,1]に必ず存在することを示せ。 関連問題も解けるようになりたいので,解説もお願いします。

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noname#224896
noname#224896
回答No.2

閉区間[0,1]に,x=aが存在すれば,必ず成り立つことを以下,証明する. ==================================================== f(1)-f(0)=k(1-0) それぞれに値域が等しいことから, 0≦f(0)≦1,0≦f(0)≦1より, 必ず, 0≦|f(1)-f(0)|≦1 となる. つまり,|k|≦1 しかも,f(a)=aより, (i)a>1のとき, f(a)=a>1となり, 関数f(x)に関して,閉区間[0,1]内に,aは存在しないとなり,値域の定義に矛盾する. (ii)a<0のとき, a=f(a)<1となり, 関数f(x)に関して,閉区間[0,1]内に,aは存在しないとなり,値域の定義に矛盾する. (iii)0≦a≦1のとき, f(a)=aより, 0≦f(a)≦1となり, f(x)が閉区間[0,1]上の連続関数であり,その値域が閉区間[0,1]に含まれるとき,f(x)の不動点x=aが区間[0,1]に必ず存在する. 以上,(i),(ii)および(iii)より, 題意は証明された.

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  • rnakamra
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回答No.1

g(x)=f(x)-x とします。g(x)は[0,x]上の連続関数です。 このように置くとこの問題は[0,1]上でg(x)=0となるxが存在することを示せ、という問題に置き換わります。 g(0)とg(1)の大きさを調べ、g(0)≠0,g(1)≠0の場合は中間値の定理を使えば示すことができるでしょう。

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