関数の連続性

質問

f(θ)を[0,2π]上の連続関数として、f(0)=f(2π)とします。
fは閉区間で連続なのでその区間で一様連続です。

このときfはR上の周期2πの連続関数になるように拡張できますよね。
つまりfは[θ,θ+2π] （θ∈R）上の連続関数とできます。
このとき
fは各[θ,θ+2π] （θ∈R）で連続より、各[θ,θ+2π] （θ∈R）で一様連続。
つまりfはR上一様連続な関数である

この見解は合っていますでしょうか？
ご指摘等よろしくお願い致します。

回答No.4

ramayana · ベストアンサー

ああ、分かりました。

　　「各[θ,θ+2π] （θ∈R）で一様連続。つまりfはR上一様連続な関数である」

の部分がまずいということですか。確かに

　　「各[θ,θ+2π] （θ∈R）で一様連続」⇒ 「R上一様連続」

は正しくないですね。

きちんと一様連続の定義に従って証明するか、あるいは、ざくっと「一様連続関数の繰り返しなので」と言ってしまえば問題なかったかも知れません。

お礼

ありがとございました。
勉強し直します！

回答No.3

alice_44

更に微妙な…

A No.1 は、連続関数が一様連続とは限らない話をしているのではなく、

広義一様連続な関数が一様連続とは限らないことを言っているのだけどな。

だからこそ、質問文中の論拠に問題があると。

一周期で連続な周期関数は一様連続である という結論は、正しいのだが。

回答No.2

ramayana

全く正しいと思います。

一般には、ANo.1さんの指摘のとおり連続関数が一様連続になると限らないのですが、このケースでは、拡張する前のf(θ)が有界閉区間（したがってコンパクト集合）[0, 2π]で連続という前提なので、一様連続になります。

また、Rに拡張後のf(θ)は、上記のf(θ)を繰り返すだけで、しかも、お互いの端点で連続なので、一様連続です。

回答No.1

alice_44

う～ん、微妙。

f(x) が周期関数なら、結果的に実数上で一様連続なのだけれど、

質問文中の論拠には、間違いがある。

任意の θ について f(x) が x∈[θ,θ+2π] で一様連続

というだけだと、f(x) は広義一様連続(局所一様連続とも)

ではあるけれど、一様連続になるとは限らない。

例えば、
f(x) = x^2 では、f(x+h) - f(x) = 2xh + h^2 だから、

| f(x+h) - f(x) | < ε となるための h は、同じ ε に対しても

x が大きくなる程より小さくとらなければならず、

x→±∞ の極限では、そのような h がとれなくなる。

すなわち、x^2 の連続性は (-∞,∞) では一様でない。